Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Спорное уравнение с логарифмом
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=34451
Страница 1 из 1

Автор:  Jazzman [ 15 июн 2014, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Спорное уравнение с логарифмом

Добрый день, Уважаемые математики!
Вот наткнулся на, казалось бы, простенькую задачу, но для меня, чайника в математике, она не очень легка в решении.

Задача: Если [math]y=\log_{\frac{ 1 }{ 2 } }{x}[/math], то для каких [math]x[/math] будет [math]y \in \left[ -2;2\right][/math]?

Я эту задачу решил таким образом: т.к. у нас есть конкретные "не выколотые" крайние точки диапазона [math]y[/math], то можно просто подставить их в уравнение и найти крайние точки диапазона [math]x[/math]:
[math]-2=\log_{\frac{ 1 }{ 2 } }{x}[/math]
[math]x=4[/math]

[math]2=\log_{\frac{ 1 }{ 2 } }{x}[/math]
[math]x=\frac{ 1 }{ 4 }[/math]
Ответ: [math]y \in \left[ -2;2 \right][/math]для всех[math]x \in \left[ \frac{ 1 }{ 4 };4 \right][/math]

Мое решение с ответом сошлось. Но вот у меня вопрос: как решать эту задачу, если диапазон [math]y[/math] в условии задан в круглых скобках с выколотыми крайними точками?

Автор:  Sonic [ 15 июн 2014, 15:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Спорное уравнение с логарифмом

[math]y\in [-2;2]\Leftrightarrow -2\leqslant y\leqslant 2 \Leftrightarrow ...[/math]
[math]y\in (-2;2)\Leftrightarrow -2< y< 2 \Leftrightarrow ...[/math]
Ваш способ не сработает, если функция немонотонна. Потому ссылка на монотонность обязательна. :O:

Автор:  Jazzman [ 15 июн 2014, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Спорное уравнение с логарифмом

Ну вот я о том и говорю, что если [math]y \in \left( -2;2 \right)[/math], то мой способ не прокатит. Тогда как решать? Мне пришла в голову мысль, что можно попробовать решить и моим способом, только вместо знака [math]=[/math] поставить знак [math]\ne[/math]. Прокатит? :)

Автор:  radix [ 15 июн 2014, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Спорное уравнение с логарифмом

Да прокатит, так как функция монотонна. Только скобки и для х будут круглые. :)

Автор:  Jazzman [ 15 июн 2014, 17:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Спорное уравнение с логарифмом

Хех, класс! Спасибо! :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/