| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Избавление от алгебраической иррациональности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=34393 |
Страница 2 из 3 |
| Автор: | dr Watson [ 14 июн 2014, 17:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Выражайтесь языком математики. Определение. Избавление от иррациональности - это ... |
|
| Автор: | Sonic [ 14 июн 2014, 17:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Казалось бы, зачем нам алгебра? Вот тут viewtopic.php?f=48&p=188363&sid=42ab7ffd7b232a27901065b420329935#p188363 обсуждали, как доказать, что сумма алгебраических чисел является алгебраической. Читаем доказательство и строим от него аналогичное рассуждение. Каков сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math]? Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их? Ну и осталось все перемножить. ![]() dr Watson писал(а): Выражайтесь языком математики. Определение. Избавление от иррациональности - это ... 1) Пусть [math]x[/math] - переменная 2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно: а)[math]f(x)=x[/math] - РРФ; б)[math]R(x)[/math] - РРФ, значит [math]\sqrt[n]{R(x)}[/math] - РРФ; в) [math]R_1(x),R_2(x)[/math] - РРФ, значит [math]R_1(x)\pm R_2(x), R_1(x)R_2(x), \frac{R_1(x)}{R_2(x)}[/math] - РРФ; г) других РРФ нет. 3) Пусть [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ. Рассмотрим соотношение [math]R(x)=S(x)[/math]. Элементарным преобразованием назовем превращение этого соотношения в [math]R(x)+T(x)=S(x)+T(x)[/math] или в [math]R(x)T(x)=S(x)T(x)[/math] или в [math]\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{S(x)}{T(x)}[/math]. Преобразованием соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] назовем цепочку элементарных преобразований. 4) Пусть [math]\varphi[/math] - преобразование соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] в [math]U(x)=V(x)[/math]. Если [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ, все [math]T(x)[/math] - РРФ, а [math]U(x),V(x)[/math] - дробно-рациональные функции, то [math]\varphi[/math] назовем избавлением от иррациональности. Упражнение: доказать, что умножение частей соотношения на нуль является избавлением от иррациональности.
|
|
| Автор: | Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Sonic писал(а): Каков сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math]? Сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math] есть для [math]-\sqrt{a}[/math]. Sonic писал(а): Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их? На этот вопрос впервые ответил Галуа. Их число равно кол-во элементов в группе Галуа (в группе перестановок корней уравнения). dr Watson писал(а): Выражайтесь языком математики. Определение. Избавление от иррациональности - это ... Выражайтесь языком математики. Избавлением от иррациональности называется процедура перехода от иррационального выражения к рациональному, при помощи рациональных операций. Обычно при этом указывают исходное поле констант и рациональные операции над исходным полем констант, а сам переход осуществляют в полях расширения. Иначе, найти выражение элемента из поля расширения через элементы поля констант. В данном случае поле констант - поле многочленов над полем комплексных чисел, поле расширения - радикальные расширения. |
|
| Автор: | dr Watson [ 14 июн 2014, 18:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Semen Bronza писал(а): Избавлением от иррациональности называется процедура перехода от иррационального выражения к рациональному, при помощи рациональных операций. Прекрасно. Вряд ли можно лишить умножение звания рациональной операции. Умножаем уравнение на ноль и избавляемся от иррациональности кардинальным образом. ЗЫ. Повторяюсь - это уже Sonic писал. |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Sonic писал(а): 1) Пусть [math]x[/math] - переменная 2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно: а)[math]f(x)=x[/math] - РРФ; б)[math]R(x)[/math] - РРФ, значит [math]\sqrt[n]{R(x)}[/math] - РРФ; в) [math]R_1(x),R_2(x)[/math] - РРФ, значит [math]R_1(x)\pm R_2(x), R_1(x)R_2(x), \frac{R_1(x)}{R_2(x)}[/math] - РРФ; г) других РРФ нет. 3) Пусть [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ. Рассмотрим соотношение [math]R(x)=S(x)[/math]. Элементарным преобразованием назовем превращение этого соотношения в [math]R(x)+T(x)=S(x)+T(x)[/math] или в [math]R(x)T(x)=S(x)T(x)[/math] или в [math]\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{S(x)}{T(x)}[/math]. Преобразованием соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] назовем цепочку элементарных преобразований. 4) Пусть [math]\varphi[/math] - преобразование соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] в [math]U(x)=V(x)[/math]. Если [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ, все [math]T(x)[/math] - РРФ, а [math]U(x),V(x)[/math] - дробно-рациональные функции, то [math]\varphi[/math] назовем избавлением от иррациональности. Упражнение: доказать, что умножение частей соотношения на нуль является избавлением от иррациональности. Вы очевидно не знакомы с расширением полей. См. ван дер Вандер Б.Л. Алгебра или книгу. - М.:Наука, 1976. - 648с. для школьников Алексеев В.Б. Теорема Абеля в решения и задачах. - М.:Наука, 1976. - 207с. Да. кстати, по поводу индуктивных определений, их впервые дал Галуа. Вы можете об этом прочесть в книге "Курс высшей алгебры" И.А. Серре |
|
| Автор: | Sonic [ 14 июн 2014, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Semen Bronza писал(а): Sonic писал(а): Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их? На этот вопрос впервые ответил Галуа. Их число равно кол-во элементов в группе Галуа (в группе перестановок корней уравнения). Пусть даны корни [math]\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n}[/math]. Каковы к ним сопряженные? Каковы всевозможные суммы всевозможных сопряженных? Просто выпишите их перебором. Будет [math]2^n[/math] сумм. Semen Bronza писал(а): Sonic писал(а): 1) Пусть [math]x[/math] - переменная Вы очевидно не знакомы с расширением полей....2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно:...
|
|
| Автор: | Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
dr Watson, с тем же успехом решая любое уравнение Вы можете умножить обе части уравнения на 0. Равенство не измениться. Но и решение вы не получите. |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Sonic, не более 2^n если все корни квадратные. В случае если корни имеют другие порядки или есть суперпозиция корней ответы на много сложнее. Точным ответом будет: число сопряженных корней равно степени канонического многочлена определенного данным алгебраическим числом минус единица. |
|
| Автор: | dr Watson [ 14 июн 2014, 18:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Semen Bronza писал(а): dr Watson, с тем же успехом решая любое уравнение Вы можете умножить обе части уравнения на 0. Равенство не измениться. Но и решение вы не получите. Равенство могло бы не измениться (если бы я с ним ничего не делал), но оно изменится. Решение, согласен, не получу. Так Вы такой задачи и не ставили. Напомнить? Semen Bronza писал(а): Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности.
|
|
| Автор: | Semen Bronza [ 14 июн 2014, 21:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Ваши ответы постоянно уводят от сути проблемы. Не будем относить к рациональной операции умножение на ноль. Кстати. классики тоже исключали эту операцию. |
|
| Страница 2 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|