Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Избавление от алгебраической иррациональности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=34393
Страница 2 из 3

Автор:  dr Watson [ 14 июн 2014, 17:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Выражайтесь языком математики.
Определение. Избавление от иррациональности - это ...

Автор:  Sonic [ 14 июн 2014, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Казалось бы, зачем нам алгебра?
Вот тут viewtopic.php?f=48&p=188363&sid=42ab7ffd7b232a27901065b420329935#p188363 обсуждали, как доказать, что сумма алгебраических чисел является алгебраической. Читаем доказательство и строим от него аналогичное рассуждение.
Каков сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math]?
Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их?
Ну и осталось все перемножить. :O:


dr Watson писал(а):
Выражайтесь языком математики.
Определение. Избавление от иррациональности - это ...

1) Пусть [math]x[/math] - переменная
2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно:
а)[math]f(x)=x[/math] - РРФ;
б)[math]R(x)[/math] - РРФ, значит [math]\sqrt[n]{R(x)}[/math] - РРФ;
в) [math]R_1(x),R_2(x)[/math] - РРФ, значит [math]R_1(x)\pm R_2(x), R_1(x)R_2(x), \frac{R_1(x)}{R_2(x)}[/math] - РРФ;
г) других РРФ нет.
3) Пусть [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ. Рассмотрим соотношение [math]R(x)=S(x)[/math].
Элементарным преобразованием назовем превращение этого соотношения в [math]R(x)+T(x)=S(x)+T(x)[/math] или в [math]R(x)T(x)=S(x)T(x)[/math] или в [math]\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{S(x)}{T(x)}[/math].
Преобразованием соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] назовем цепочку элементарных преобразований.
4) Пусть [math]\varphi[/math] - преобразование соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] в [math]U(x)=V(x)[/math]. Если [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ, все [math]T(x)[/math] - РРФ, а [math]U(x),V(x)[/math] - дробно-рациональные функции, то [math]\varphi[/math] назовем избавлением от иррациональности.
Упражнение: доказать, что умножение частей соотношения на нуль является избавлением от иррациональности.
:D1

Автор:  Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Sonic писал(а):
Каков сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math]?

Сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math] есть для [math]-\sqrt{a}[/math].

Sonic писал(а):
Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их?

На этот вопрос впервые ответил Галуа. Их число равно кол-во элементов в группе Галуа (в группе перестановок корней уравнения).

dr Watson писал(а):
Выражайтесь языком математики.
Определение. Избавление от иррациональности - это ...

Выражайтесь языком математики.
Избавлением от иррациональности называется процедура перехода от иррационального выражения к рациональному, при помощи рациональных операций. Обычно при этом указывают исходное поле констант и рациональные операции над исходным полем констант, а сам переход осуществляют в полях расширения. Иначе, найти выражение элемента из поля расширения через элементы поля констант. В данном случае поле констант - поле многочленов над полем комплексных чисел, поле расширения - радикальные расширения.

Автор:  dr Watson [ 14 июн 2014, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Semen Bronza писал(а):
Избавлением от иррациональности называется процедура перехода от иррационального выражения к рациональному, при помощи рациональных операций.

Прекрасно. Вряд ли можно лишить умножение звания рациональной операции.
Умножаем уравнение на ноль и избавляемся от иррациональности кардинальным образом.

ЗЫ. Повторяюсь - это уже Sonic писал.

Автор:  Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Sonic писал(а):
1) Пусть [math]x[/math] - переменная
2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно:
а)[math]f(x)=x[/math] - РРФ;
б)[math]R(x)[/math] - РРФ, значит [math]\sqrt[n]{R(x)}[/math] - РРФ;
в) [math]R_1(x),R_2(x)[/math] - РРФ, значит [math]R_1(x)\pm R_2(x), R_1(x)R_2(x), \frac{R_1(x)}{R_2(x)}[/math] - РРФ;
г) других РРФ нет.
3) Пусть [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ. Рассмотрим соотношение [math]R(x)=S(x)[/math].
Элементарным преобразованием назовем превращение этого соотношения в [math]R(x)+T(x)=S(x)+T(x)[/math] или в [math]R(x)T(x)=S(x)T(x)[/math] или в [math]\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{S(x)}{T(x)}[/math].
Преобразованием соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] назовем цепочку элементарных преобразований.
4) Пусть [math]\varphi[/math] - преобразование соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] в [math]U(x)=V(x)[/math]. Если [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ, все [math]T(x)[/math] - РРФ, а [math]U(x),V(x)[/math] - дробно-рациональные функции, то [math]\varphi[/math] назовем избавлением от иррациональности.
Упражнение: доказать, что умножение частей соотношения на нуль является избавлением от иррациональности.

Вы очевидно не знакомы с расширением полей.
См. ван дер Вандер Б.Л. Алгебра или книгу. - М.:Наука, 1976. - 648с. для школьников Алексеев В.Б. Теорема Абеля в решения и задачах. - М.:Наука, 1976. - 207с.
Да. кстати, по поводу индуктивных определений, их впервые дал Галуа. Вы можете об этом прочесть в книге "Курс высшей алгебры" И.А. Серре

Автор:  Sonic [ 14 июн 2014, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Semen Bronza писал(а):
Sonic писал(а):
Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их?

На этот вопрос впервые ответил Галуа. Их число равно кол-во элементов в группе Галуа (в группе перестановок корней уравнения).
Неее, ваще не то.

Пусть даны корни [math]\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n}[/math].
Каковы к ним сопряженные?
Каковы всевозможные суммы всевозможных сопряженных? Просто выпишите их перебором. Будет [math]2^n[/math] сумм.

Semen Bronza писал(а):
Sonic писал(а):
1) Пусть [math]x[/math] - переменная
2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно:...
Вы очевидно не знакомы с расширением полей....
Вообще-то я просто пошутил :D1

Автор:  Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

dr Watson, с тем же успехом решая любое уравнение Вы можете умножить обе части уравнения на 0. Равенство не измениться. Но и решение вы не получите.

Автор:  Semen Bronza [ 14 июн 2014, 18:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Sonic, не более 2^n если все корни квадратные. В случае если корни имеют другие порядки или есть суперпозиция корней ответы на много сложнее. Точным ответом будет: число сопряженных корней равно степени канонического многочлена определенного данным алгебраическим числом минус единица.

Автор:  dr Watson [ 14 июн 2014, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Semen Bronza писал(а):
dr Watson, с тем же успехом решая любое уравнение Вы можете умножить обе части уравнения на 0. Равенство не измениться. Но и решение вы не получите.

Равенство могло бы не измениться (если бы я с ним ничего не делал), но оно изменится. Решение, согласен, не получу. Так Вы такой задачи и не ставили. Напомнить?
Semen Bronza писал(а):
Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности.

Автор:  Semen Bronza [ 14 июн 2014, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Ваши ответы постоянно уводят от сути проблемы. Не будем относить к рациональной операции умножение на ноль. Кстати. классики тоже исключали эту операцию.

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/