| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Избавление от алгебраической иррациональности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=34393 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | Semen Bronza [ 13 июн 2014, 17:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Избавление от алгебраической иррациональности |
Избавиться от иррациональности в уравнении: [math]\sqrt{x-2}[/math]+[math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math]+[math]\sqrt{x+2}[/math]=1 |
|
| Автор: | dr Watson [ 13 июн 2014, 18:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Данное уравнение равносильно следующему уравнению [math]x+1=x[/math], которое не содержит иррациональности. Избавился я от иррациональности? |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 13 июн 2014, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Нет, Ваше уравнение не равносильно исходному. Ваше уравнение решений не имеет. Исходное уравнение решения имеет (возможно комплексные). |
|
| Автор: | venjar [ 13 июн 2014, 18:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Очевидно, что уравнение решений не имеет. Правая часть определена при х>=2 и, очевидно, представляет собой на этом промежутке возрастающую функцию. Но уже при х=2 правая часть >1. Поэтому dr Watson абсолютно прав. Его ответ не только правилен, но и остроумен. Речь, конечно, только о вещественных решениях. Но когда в условии не оговорено обратное, то по умолчанию ищутся вещественные решения. |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 13 июн 2014, 18:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Уравнение действительных решений действительно не имеет, а как по поводу комплексных? |
|
| Автор: | victor1111 [ 13 июн 2014, 18:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Semen Bronza писал(а): Уравнение действительных решений действительно не имеет, а как по поводу комплексных? При Х действительных данное ур-ние не имеет решений. Комплексных в том числе. |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 13 июн 2014, 19:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности. В более простом уравнении [math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math]=1 это можно сделать например так: [math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math]=1-[math]\sqrt{x}[/math] ([math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math])^2=(1-[math]\sqrt{x}[/math])^2 x-1+x+1+2[math]\sqrt{(x^2)-1}[/math]=1-2[math]\sqrt{x}[/math]+x x+2[math]\sqrt{(x^2)-1}[/math]=1-2[math]\sqrt{x}[/math] 2[math]\sqrt{(x^2)-1}[/math]+2[math]\sqrt{x}[/math]=1-x После возведения обеих частей в квадрат, останется 1 иррациональность от которой легко избавиться. В разобранном примере было 3 иррациональности. Однако, предложений метод не может быть применен, когда иррациональностей 5. |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 13 июн 2014, 19:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Дополнение к предыдущему сообщению. Избавившись до конца от иррациональности в примере будем иметь многочлен 4-ой степени, который по основной теореме алгебры имеет 4 корня, возможно кратных, так, что хотя бы 1 действительное решение или пара комплексно-сопряженных решений имеется. |
|
| Автор: | dr Watson [ 14 июн 2014, 16:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
Semen Bronza писал(а): Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности. Что сие означает? Semen Bronza писал(а): После возведения обеих частей в квадрат ... ... почти наверняка множество решений расширится, то есть получится уравнение, не равносильное исходному.Пример. Возьмём уравнение [math]\sqrt x=-1[/math]. В области действительных чисел решений у него нет. Возведение в квадрат превращает его в уравнение [math]x=1[/math]. |
|
| Автор: | Semen Bronza [ 14 июн 2014, 17:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Избавление от алгебраической иррациональности |
dr Watson, избавиться от иррациональности - избавиться от дробных показателей, при этом множество решений пополниться сопряженными решениями. В условии задачи требуется избавиться от иррациональности, а не решить уравнение. Это процедура необходима для решения многих других задач, кроме задачи решить уравнение. В данной задаче не требуется решить уравнение. |
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|