Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Избавление от алгебраической иррациональности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=34393
Страница 1 из 3

Автор:  Semen Bronza [ 13 июн 2014, 17:53 ]
Заголовок сообщения:  Избавление от алгебраической иррациональности

Избавиться от иррациональности в уравнении: [math]\sqrt{x-2}[/math]+[math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math]+[math]\sqrt{x+2}[/math]=1

Автор:  dr Watson [ 13 июн 2014, 18:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Данное уравнение равносильно следующему уравнению [math]x+1=x[/math], которое не содержит иррациональности. Избавился я от иррациональности?

Автор:  Semen Bronza [ 13 июн 2014, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Нет, Ваше уравнение не равносильно исходному. Ваше уравнение решений не имеет. Исходное уравнение решения имеет (возможно комплексные).

Автор:  venjar [ 13 июн 2014, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Очевидно, что уравнение решений не имеет. Правая часть определена при х>=2 и, очевидно, представляет собой на этом промежутке возрастающую функцию. Но уже при х=2 правая часть >1.

Поэтому dr Watson абсолютно прав. Его ответ не только правилен, но и остроумен.

Речь, конечно, только о вещественных решениях. Но когда в условии не оговорено обратное, то по умолчанию ищутся вещественные решения.

Автор:  Semen Bronza [ 13 июн 2014, 18:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Уравнение действительных решений действительно не имеет, а как по поводу комплексных?

Автор:  victor1111 [ 13 июн 2014, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Semen Bronza писал(а):
Уравнение действительных решений действительно не имеет, а как по поводу комплексных?

При Х действительных данное ур-ние не имеет решений. Комплексных в том числе.

Автор:  Semen Bronza [ 13 июн 2014, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности. В более простом уравнении [math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math]=1 это можно сделать например так:
[math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math]=1-[math]\sqrt{x}[/math]
([math]\sqrt{x-1}[/math]+[math]\sqrt{x+1}[/math])^2=(1-[math]\sqrt{x}[/math])^2
x-1+x+1+2[math]\sqrt{(x^2)-1}[/math]=1-2[math]\sqrt{x}[/math]+x
x+2[math]\sqrt{(x^2)-1}[/math]=1-2[math]\sqrt{x}[/math]
2[math]\sqrt{(x^2)-1}[/math]+2[math]\sqrt{x}[/math]=1-x
После возведения обеих частей в квадрат, останется 1 иррациональность от которой легко избавиться.
В разобранном примере было 3 иррациональности.
Однако, предложений метод не может быть применен, когда иррациональностей 5.

Автор:  Semen Bronza [ 13 июн 2014, 19:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Дополнение к предыдущему сообщению.
Избавившись до конца от иррациональности в примере будем иметь многочлен 4-ой степени, который по основной теореме алгебры имеет 4 корня, возможно кратных, так, что хотя бы 1 действительное решение или пара комплексно-сопряженных решений имеется.

Автор:  dr Watson [ 14 июн 2014, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

Semen Bronza писал(а):
Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности.
Что сие означает?

Semen Bronza писал(а):
После возведения обеих частей в квадрат ...
... почти наверняка множество решений расширится, то есть получится уравнение, не равносильное исходному.
Пример. Возьмём уравнение [math]\sqrt x=-1[/math]. В области действительных чисел решений у него нет. Возведение в квадрат превращает его в уравнение [math]x=1[/math].

Автор:  Semen Bronza [ 14 июн 2014, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Избавление от алгебраической иррациональности

dr Watson, избавиться от иррациональности - избавиться от дробных показателей, при этом множество решений пополниться сопряженными решениями. В условии задачи требуется избавиться от иррациональности, а не решить уравнение. Это процедура необходима для решения многих других задач, кроме задачи решить уравнение. В данной задаче не требуется решить уравнение.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/