Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифмическое неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33856
Страница 1 из 2

Автор:  sfanter [ 29 май 2014, 11:25 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмическое неравенство

[math]\log_{3-x}{(\frac{ 4-x }{ 5-x }) } \leqslant 1[/math]
Подскажите пожалуйста как решит данную систему?

Автор:  Yurik [ 29 май 2014, 11:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

[math]\left\{ \begin{gathered} 3 - x > 0,\,\,3 - x \ne 1 \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}} > 0,\,\, x \ne 5 \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}} \leqslant 3 - x \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Автор:  Alexdemath [ 29 май 2014, 12:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Yurik

А если основание [math]<1[/math]?

Автор:  sfanter [ 29 май 2014, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Alexdemath писал(а):
Yurik

А если основание [math]<1[/math]?

Нужно ещё одну систему составить где x от 0 до 1, в последнем выражении первой системы знак поменяется на >= и эти две системы объединить совокупностью?

Автор:  Alexdemath [ 29 май 2014, 12:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Вроде так
[math]{\log _{3 - x}}\frac{{4 - x}}{{5 - x}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \left\{\!\begin{gathered}\frac{{4 - x}}{{5 - x}}> 0, \hfill \\ \left[\!\begin{gathered}\left\{\begin{gathered}0 < 3 - x < 1, \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}}\geqslant 3 - x, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}3 - x > 1, \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}}\leqslant 3 - x. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]
Должно получиться

[math]\begin{gathered}\frac{{4 - x}}{{5 - x}}> 0 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x < 4, \hfill \\ x > 5; \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}0 < 3 - x < 1, \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}}\geqslant 3 - x \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \frac{{7 - \sqrt 5}}{2}\leqslant x < 3; \hfill \\ \left\{\begin{gathered}3 - x > 1, \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}}\leqslant 3 - x \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow x < 2. \hfill \\ \end{gathered}[/math]

То есть [math]\left\{\!\!\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}x < 4, \hfill \\ x > 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered}\frac{{7 - \sqrt 5}}{2}\leqslant x < 3, \hfill \\ x < 2, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math] или окончательно [math]\left[ \begin{gathered}x < 2, \hfill \\ \frac{{7 - \sqrt 5}}{2}\leqslant x < 3. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

Автор:  sfanter [ 29 май 2014, 12:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

[math]\frac{ 4-x }{ 5-x } \geqslant 3-x[/math](Это выражение сводится к такому?: [math]\frac{ {x}^2-7x+9 }{ 5-x }>=0[/math])?
Если да,то корти "нехорошие" получаются

Автор:  Alexdemath [ 29 май 2014, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Неверно привели

[math]\frac{{4 - x}}{{5 - x}}\geqslant 3 - x \Leftrightarrow \frac{{{x^2}- 7x + 11}}{{x - 5}}\geqslant 0[/math]

Автор:  pewpimkin [ 29 май 2014, 12:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Не плюс 9, а плюс 11. Ответ такой же , решал правда по-другому

Автор:  sfanter [ 29 май 2014, 13:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Alexdemath писал(а):
[math]\left\{ \begin{gathered} 0 < 3 - x < 1, \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}} \geqslant 3 - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \frac{{7 - \sqrt 5 }}{2} \leqslant x < 3;[/math]

Как получилось так,что [math]\frac{ 7-\sqrt{5} }{ 2 } \leqslant x < 3[/math]?
Ведь в первом выражении в системе [math]x \in (2;3)[/math] а во втором [math]x\in(- \infty ;\frac{ 7-\sqrt{5} }{ 2 }] \cup [\frac{ 7+\sqrt{5} }{ 2 }; \infty )[/math]
Если объединить,то получится [math]x \in (2;\frac{ 7-\sqrt{5} }{ 2 }][/math]

Автор:  Alexdemath [ 29 май 2014, 13:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

sfanter писал(а):
Alexdemath писал(а):
[math]\left\{ \begin{gathered} 0 < 3 - x < 1, \hfill \\ \frac{{4 - x}}{{5 - x}} \geqslant 3 - x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \frac{{7 - \sqrt 5 }}{2} \leqslant x < 3;[/math]
Как получилось так,что [math]\frac{ 7-\sqrt{5} }{ 2 } \leqslant x < 3[/math]?
Ведь в первом выражении в системе [math]x \in (2;3)[/math] а во втором [math]x\in(- \infty ;\frac{ 7-\sqrt{5} }{ 2 }] \cup [\frac{ 7+\sqrt{5} }{ 2 }; \infty )[/math]
Если объединить,то получится [math]x \in (2;\frac{ 7-\sqrt{5} }{ 2 }][/math]

Решение второго [math]\left[\!\begin{aligned}& \frac{7-\sqrt{5}}{2}\leqslant x\leqslant \frac{7+\sqrt{5}}{2}, \\& x>5. \end{aligned}\right.[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/