Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33836
Страница 1 из 2

Автор:  sfanter [ 28 май 2014, 21:20 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

К какой системе сводится данное выражение? (У меня получилось какое то громоздкое выражение в системе)

[math]\log_{2}({{x}^2-x})-3\log_{2}{\frac{ x }{ x-1 } }>-2[/math]

Автор:  radix [ 28 май 2014, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

Как и в другой задаче, сначала нужно убрать множитель 3, переместив в показатель степени.
Затем преобразовать разность логарифмов и сократить что возможно.
Разумеется, не забывая об ОДЗ.

Автор:  pewpimkin [ 28 май 2014, 21:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

Лучше не так: log(2)x=a, log(2)(x-1)=b. Тогда получается a+b-3a+3b>-1 или 2b-a>-1

Автор:  radix [ 28 май 2014, 21:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

pewpimkin, у этого метода есть один существенный недостаток. При появлении [math]\log_{2}{x}[/math], сразу ОДЗ сужается, а это не есть хорошо. Если ОДЗ расширяется, то дополнительными ограничениями его можно всё-таки контролировать, а вот когда сужается...

Автор:  pewpimkin [ 28 май 2014, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

ОДЗ нужно найти вначале

Автор:  radix [ 28 май 2014, 22:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

Это работает, если в процессе решения ОДЗ расширяется. В этом случае мы переходим к уравнению-следствию. Возможно появление посторонних корней, которые можно отсеять либо проверкой, либо накладыванием дополнительных ограничений в процессе решения.
А вот если ОДЗ сузилось, то это плохо, потому что грозит потерей корней. И тут уж никакие проверки не помогут.
В данном конкретном примере можно, конечно, выкрутиться, поставив знаки модуля, а после нахождения корней проверить их подстановкой. Но в этом случае решение будет достаточно громоздким.

Автор:  pewpimkin [ 28 май 2014, 22:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

Одно и то же получилось

Автор:  radix [ 28 май 2014, 22:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

:pardon:
Добавлю только, что проверяющие, обычно, очень нервничают, когда видят, что в процессе решения уравнения или неравенства ОДЗ уменьшается. И убедить их, что ничего не потерялось, очень трудно, как правило, невозможно. :cry:

Автор:  Alexdemath [ 28 май 2014, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

После сокращений-упрощений получится

[math]\left\{\begin{gathered}x < 0,~x > 1, \hfill \\ 4(x - 1)^4-x^2> 0. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

Автор:  radix [ 28 май 2014, 23:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство. Вопрос по системе

Можно ещё так:
[math]\log_{2}{\frac{ (x-1)^4 }{ x^2 } }>-2;[/math]
[math]2\log_{2}{\frac{ (x-1)^2 }{ \left| x \right| } }>-2 ;[/math]
[math]\log_{2}{\frac{ (x-1)^2 }{ \left| x \right| } }>-1[/math]
[math]\frac{ (x-1)^2 }{ \left| x \right| } >\frac{ 1 }{ 2 }[/math]
...

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/