| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33831 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | sfanter [ 28 май 2014, 20:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению |
[math]2\log_{4}({x+2})-\log_{4}({x+5})<1[/math] ОДЗ: [math](-2; \infty)[/math] [math]2\log_{4}{\frac{ x+2 }{ x+5 } }<1[/math](Можно ли после этого обе части поделить на 2?) [math]\log_{4}{\frac{ x+2 }{ x+5 } }<\frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]\frac{ x+2 }{ x+5 }<2[/math] [math]\frac{ x+8 }{ x+5 }>0[/math] В итоге полученный ответ не сошёлся с правильным. Где ошибка в решении? |
|
| Автор: | radix [ 28 май 2014, 20:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению |
Вторая строка решения неверна. Двойку надо было сначала "забросить" в показатель степени. И только после этого преобразовывать разность логарифмов. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 28 май 2014, 20:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению |
Примерно так [math]\begin{gathered}2{\log _4}(x + 2) -{\log _4}(x + 5) < 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}{\log _4}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}<{\log _4}4, \hfill \\ x + 2 > 0, \hfill \\ x + 5 > 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}< 4, \hfill \\ x > - 2, \hfill \\ x > - 5 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{({x^2}+ 4x + 4) - 4(x + 5)}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{x^2}- 16}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 < 0, \hfill \\ x + 5 > 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 > 0, \hfill \\ x + 5 < 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x > - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}x < - 4, \hfill \\ x > 4, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow - 2 < x < 4. \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | sfanter [ 28 май 2014, 20:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению |
radix писал(а): Вторая строка решения неверна. Двойку надо было сначала "забросить" в показатель степени. И только после этого преобразовывать разность логарифмов. У меня ответ получился в интервале от -2 до 5, а правильный ответ от -2 до 4. |
|
| Автор: | sfanter [ 28 май 2014, 20:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению |
Alexdemath писал(а): Примерно так [math]\begin{gathered}2{\log _4}(x + 2) -{\log _4}(x + 5) < 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}{\log _4}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}<{\log _4}4, \hfill \\ x + 2 > 0, \hfill \\ x + 5 > 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}< 4, \hfill \\ x > - 2, \hfill \\ x > - 5 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{({x^2}+ 4x + 4) - 4(x + 5)}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{x^2}- 16}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 < 0, \hfill \\ x + 5 > 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 > 0, \hfill \\ x + 5 < 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x > - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}x < - 4, \hfill \\ x > 4, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow - 2 < x < 4. \hfill \\ \end{gathered}[/math] спасибо |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|