Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33831
Страница 1 из 1

Автор:  sfanter [ 28 май 2014, 20:13 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению

[math]2\log_{4}({x+2})-\log_{4}({x+5})<1[/math]
ОДЗ: [math](-2; \infty)[/math]
[math]2\log_{4}{\frac{ x+2 }{ x+5 } }<1[/math](Можно ли после этого обе части поделить на 2?)
[math]\log_{4}{\frac{ x+2 }{ x+5 } }<\frac{ 1 }{ 2 }[/math]
[math]\frac{ x+2 }{ x+5 }<2[/math]
[math]\frac{ x+8 }{ x+5 }>0[/math]
В итоге полученный ответ не сошёлся с правильным. Где ошибка в решении?

Автор:  radix [ 28 май 2014, 20:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению

Вторая строка решения неверна. Двойку надо было сначала "забросить" в показатель степени. И только после этого преобразовывать разность логарифмов.

Автор:  Alexdemath [ 28 май 2014, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению

Примерно так

[math]\begin{gathered}2{\log _4}(x + 2) -{\log _4}(x + 5) < 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}{\log _4}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}<{\log _4}4, \hfill \\ x + 2 > 0, \hfill \\ x + 5 > 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}< 4, \hfill \\ x > - 2, \hfill \\ x > - 5 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{({x^2}+ 4x + 4) - 4(x + 5)}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{x^2}- 16}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 < 0, \hfill \\ x + 5 > 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 > 0, \hfill \\ x + 5 < 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x > - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}x < - 4, \hfill \\ x > 4, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow - 2 < x < 4. \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  sfanter [ 28 май 2014, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению

radix писал(а):
Вторая строка решения неверна. Двойку надо было сначала "забросить" в показатель степени. И только после этого преобразовывать разность логарифмов.

У меня ответ получился в интервале от -2 до 5, а правильный ответ от -2 до 4.

Автор:  sfanter [ 28 май 2014, 20:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство.Вопрос по решению

Alexdemath писал(а):
Примерно так

[math]\begin{gathered}2{\log _4}(x + 2) -{\log _4}(x + 5) < 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}{\log _4}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}<{\log _4}4, \hfill \\ x + 2 > 0, \hfill \\ x + 5 > 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{x + 5}}< 4, \hfill \\ x > - 2, \hfill \\ x > - 5 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{({x^2}+ 4x + 4) - 4(x + 5)}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{{{x^2}- 16}}{{x + 5}}< 0, \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 < 0, \hfill \\ x + 5 > 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}{x^2}- 16 > 0, \hfill \\ x + 5 < 0, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x > - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}x < - 4, \hfill \\ x > 4, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{gathered}- 4 < x < 4, \hfill \\ x < - 5, \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ x > - 2 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow - 2 < x < 4. \hfill \\ \end{gathered}[/math]

спасибо

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/