Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Ужасное неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33819
Страница 1 из 1

Автор:  Woxa999 [ 28 май 2014, 17:47 ]
Заголовок сообщения:  Ужасное неравенство

Помогитеее!
[math]\sqrt{x^{3} + 233}+\sqrt{x^{2}-49}-\sqrt{128-x} \leqslant \frac{ 56 }{x }+5[/math]

Автор:  radix [ 28 май 2014, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

x=7 - подбором. Этот корень вполне очевидный.
Затем переносим корень, перед которым минус, вправо.
Слева имеем монотонно возрастающую функцию, а справа - монотонно убывающую (на ОДЗ). Значит, более одного пересечения быть не может.

Автор:  Avgust [ 28 май 2014, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

Если проанализировать такое

[math]\sqrt{x^{3} + 233}+\sqrt{x^{2}-49}-\sqrt{128-x} - \frac{ 56 }{x }-5 \leqslant 0[/math]

то окажется, функция положительная и лишь при x=7 равна нулю.
Поэтому решение простое: [math]x=7[/math]

Автор:  Woxa999 [ 28 май 2014, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

Avgust писал(а):
Если проанализировать такое

[math]\sqrt{x^{3} + 233}+\sqrt{x^{2}-49}-\sqrt{128-x} - \frac{ 56 }{x }-5 \leqslant 0[/math]

то окажется, функция положительная и лишь при x=7 равна нулю.
Поэтому решение простое: [math]x=7[/math]

А как вы "проанализировали" такое?

Автор:  radix [ 28 май 2014, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

Woxa999 писал(а):
А как вы "проанализировали" такое?

Он забил в автоматический решатель, оно и "проанализировалось". Само. :D1
radix писал(а):
x=7 - подбором. Этот корень вполне очевидный.

Сейчас в ЕГЭ вообще часто попадаются задания, где корень нужно банально угадать. Это несложно, но если все мысли о том, как аналитически найти решение, то такой очевидный шаг в голову не придёт. Дальнейшее решение сводится к тому, что "ну, вот корень мы угадали, теперь докажем, что он единственный". Пример доказательства в моём предыдущем посте.

Автор:  Woxa999 [ 28 май 2014, 18:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

А как быстро увидеть, что функция убывает или возрастает монотонно? Нигде не читал про монотонные функции. Посоветуйте какие есть теор.материалы на эту тему?

Автор:  radix [ 28 май 2014, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

Почитать можно, например, в школьных учебниках алгебры, в разделах "Исследование функций" или "преобразование графиков".
Суть в том, что если f(x) возрастает на каком либо промежутке, то
kf(x), f(kx), f(x+a), f(x)+a - тоже возрастают.
f(-x), -f(x), 1/f(x) (если f(x) не равно 0)- убывают.
Запоминать не нужно, достаточно представить, какие преобразования графика происходят (растяжение, отражение, сдвиг и т.п.)
Можно через производную, но это более сложный путь. Хотя в качестве проверки результата, полученного первым способом, сойдёт.
В Вашем примере можно рассуждать так:
Для начала найдём ОДЗ. Далее определим характер функций на найденном ОДЗ:
[math]\sqrt{x}[/math] - возрастает (график представьте себе), [math]x^{3}[/math] - возрастает, значит, [math]\sqrt{x^3}[/math] - возрастает и [math]\sqrt{x^3+233}[/math] - тоже возрастает.
[math]\sqrt{x}[/math] - возрастает, значит, [math]\sqrt{-x}[/math] - убывает (график получается зеркальным отображением относительно оси OY), [math]\sqrt{128-x}[/math]- тоже убывает.
[math]\frac{ 1 }{ x }[/math] - убывает при [math]x>0[/math] , значит, [math]\frac{ 56 }{ x }[/math] - тоже убывает.
И так далее.
Сумма двух возрастающих функций - возрастающая функция.
Сумма двух убывающих функций - убывающая функция.
Композиция двух возрастающих (убывающих) функций возрастает (убывает).
Это то, что можно делать "в уме". Не знаю, нужно ли подробно это расписывать на экзамене.

Автор:  radix [ 28 май 2014, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

В книгах для подготовки к ЕГЭ просто пишут: "Левая часть уравнения представляет собой монотонно возрастающую функцию, а правая часть - константа (или монотонно убывающая). Поэтому если графики пересекаются, то только в одной точке. Это доказывает единственность [угаданного] решения.
Всё. Подробно не расписывают, как они дошли до "монотонности".
Но на экзамене требования могут быть другими. :(

Автор:  Avgust [ 28 май 2014, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

Я все очень просто сделал: проанализировал ОДЗ трех корней и получил, что

[math]7\le x \le 128[/math]

Вычислил несколько точек функции, она оказалась гладкой, положительной и только при x=7 обнуляется. Что сложного-то?

Автор:  Woxa999 [ 28 май 2014, 21:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ужасное неравенство

:good: Понятно! Огромное спасибо!(просто у нас в лицее так подробно не объясняют)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/