Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неравенство со степенями и модулями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33443
Страница 1 из 2

Автор:  Ananesh [ 18 май 2014, 10:15 ]
Заголовок сообщения:  Неравенство со степенями и модулями

Подскажите, как решается.
[math]3^{{(2x-1)}^2+\left| 2x-1 \right| }[/math] [math]\times 4^{-\left| 2x-1 \right| }[/math] [math]\leqslant 1[/math]

Автор:  radix [ 18 май 2014, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Учтите, что [math]a^2=\left| a \right|^2[/math]
Сделайте замену [math]t=\left| 2x-1 \right|[/math], [math]t \geqslant 0[/math]
Далее умножьте всё неравенство на [math]4^t > 0[/math]
После этого можно будет перейти к основанию 3.

Автор:  Ananesh [ 18 май 2014, 15:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Спасибо, а как дальше? Привёл к основанию 3: 2[math]\log^{2}_{3}{t} - \frac{ \log_{3}{t} }{ \log_{3}{4} }=0[/math] . Правильно получилось?

Автор:  radix [ 18 май 2014, 22:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Как это у Вас получилось?
Вот, как я думаю это нужно решать:
[math]\frac{ 3^{t^2+t} }{ 4^t } \leqslant 1[/math] (*)
Это неравенство можно логарифмировать по основанию 3:
[math]\log_{3}{3^{t^2+t}}-\log_{3}{4^t} \leqslant 0[/math]
[math]t^2+t \leqslant t\log_{3}{4}[/math] (**)
Один из корней t=0.
Рассмотрим случай, если t не равно 0. Разделим неравенство на t (вспоминаем, что t неотрицательно).
...
Либо неравенство (*) можно было преобразовать так: умножим неравенство на [math]4^t>0[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 4^t[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 3^{t \log_{3}{4} }[/math]
... (приходим к тому же неравенству (**))

Автор:  Alexdemath [ 19 май 2014, 00:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

У меня получилось

[math]1-\log_{3}2 \leqslant x \leqslant \log_{3}2[/math]

Автор:  Ananesh [ 19 май 2014, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

radix писал(а):
Как это у Вас получилось?
Вот, как я думаю это нужно решать:
[math]\frac{ 3^{t^2+t} }{ 4^t } \leqslant 1[/math] (*)
Это неравенство можно логарифмировать по основанию 3:
[math]\log_{3}{3^{t^2+t}}-\log_{3}{4^t} \leqslant 0[/math]
[math]t^2+t \leqslant t\log_{3}{4}[/math] (**)
Один из корней t=0.
Рассмотрим случай, если t не равно 0. Разделим неравенство на t (вспоминаем, что t неотрицательно).
...
Либо неравенство (*) можно было преобразовать так: умножим неравенство на [math]4^t>0[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 4^t[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 3^{t \log_{3}{4} }[/math]
... (приходим к тому же неравенству (**))


А что сделать с "1" из правой части при логарифмировании?

Автор:  radix [ 19 май 2014, 13:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Единицу тоже логарифмируем.
[math]\log_{3}{1}=0[/math]

Автор:  Alexdemath [ 19 май 2014, 14:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Я так решал

[math]\begin{gathered}3^{(2x - 1)^2 + |2x - 1|}\cdot 4^{-|2x - 1|}\leqslant 1 \hfill \\ [2x - 1 = t] \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{4^{- |t|}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{3^{{{\log}_3}{4^{- |t|}}}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{3^{- |t|{{\log}_3}4}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|(1 -{{\log}_3}4)}}\leqslant{3^0}\hfill \\{t^2}+ |t|(1 -{\log _3}4) \leqslant 0 \hfill \\{t^2}+ |t|{\log _3}\frac{3}{4}\leqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered}t^2+ t\log_3\frac{3}{4}\leqslant 0, \hfill \\t^2- t\log_3\frac{3}{4}\leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}0 \leqslant t \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}, \hfill \\-\log_3\frac{4}{3}\leqslant t \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow -{\log _3}\frac{4}{3}\leqslant t \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}\hfill \\ -{\log _3}\frac{4}{3}\leqslant 2x - 1 \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow 1 -{\log _3}2 \leqslant x \leqslant{\log _3}2 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Ananesh [ 19 май 2014, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Спасибо. А как вы от пятой строчки (с учётом замены), перешли к шестой? Т.е. как получилось [math]1-\log_{3}{4}[/math]?

Автор:  Alexdemath [ 19 май 2014, 14:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство со степенями и модулями

Ananesh писал(а):
Спасибо. А как вы от пятой строчки (с учётом замены), перешли к шестой? Т.е. как получилось

Это же [math]a^x\cdot a^y= a^{x+y}[/math]. Ну а дальше вынес за скобку [math]|t|[/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/