| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Неравенство со степенями и модулями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=33443 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Ananesh [ 18 май 2014, 10:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Неравенство со степенями и модулями |
Подскажите, как решается. [math]3^{{(2x-1)}^2+\left| 2x-1 \right| }[/math] [math]\times 4^{-\left| 2x-1 \right| }[/math] [math]\leqslant 1[/math] |
|
| Автор: | radix [ 18 май 2014, 13:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Учтите, что [math]a^2=\left| a \right|^2[/math] Сделайте замену [math]t=\left| 2x-1 \right|[/math], [math]t \geqslant 0[/math] Далее умножьте всё неравенство на [math]4^t > 0[/math] После этого можно будет перейти к основанию 3. |
|
| Автор: | Ananesh [ 18 май 2014, 15:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Спасибо, а как дальше? Привёл к основанию 3: 2[math]\log^{2}_{3}{t} - \frac{ \log_{3}{t} }{ \log_{3}{4} }=0[/math] . Правильно получилось? |
|
| Автор: | radix [ 18 май 2014, 22:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Как это у Вас получилось? Вот, как я думаю это нужно решать: [math]\frac{ 3^{t^2+t} }{ 4^t } \leqslant 1[/math] (*) Это неравенство можно логарифмировать по основанию 3: [math]\log_{3}{3^{t^2+t}}-\log_{3}{4^t} \leqslant 0[/math] [math]t^2+t \leqslant t\log_{3}{4}[/math] (**) Один из корней t=0. Рассмотрим случай, если t не равно 0. Разделим неравенство на t (вспоминаем, что t неотрицательно). ... Либо неравенство (*) можно было преобразовать так: умножим неравенство на [math]4^t>0[/math] [math]3^{t^2+t} \leqslant 4^t[/math] [math]3^{t^2+t} \leqslant 3^{t \log_{3}{4} }[/math] ... (приходим к тому же неравенству (**)) |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 май 2014, 00:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
У меня получилось [math]1-\log_{3}2 \leqslant x \leqslant \log_{3}2[/math] |
|
| Автор: | Ananesh [ 19 май 2014, 13:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
radix писал(а): Как это у Вас получилось? Вот, как я думаю это нужно решать: [math]\frac{ 3^{t^2+t} }{ 4^t } \leqslant 1[/math] (*) Это неравенство можно логарифмировать по основанию 3: [math]\log_{3}{3^{t^2+t}}-\log_{3}{4^t} \leqslant 0[/math] [math]t^2+t \leqslant t\log_{3}{4}[/math] (**) Один из корней t=0. Рассмотрим случай, если t не равно 0. Разделим неравенство на t (вспоминаем, что t неотрицательно). ... Либо неравенство (*) можно было преобразовать так: умножим неравенство на [math]4^t>0[/math] [math]3^{t^2+t} \leqslant 4^t[/math] [math]3^{t^2+t} \leqslant 3^{t \log_{3}{4} }[/math] ... (приходим к тому же неравенству (**)) А что сделать с "1" из правой части при логарифмировании? |
|
| Автор: | radix [ 19 май 2014, 13:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Единицу тоже логарифмируем. [math]\log_{3}{1}=0[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 май 2014, 14:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Я так решал [math]\begin{gathered}3^{(2x - 1)^2 + |2x - 1|}\cdot 4^{-|2x - 1|}\leqslant 1 \hfill \\ [2x - 1 = t] \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{4^{- |t|}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{3^{{{\log}_3}{4^{- |t|}}}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{3^{- |t|{{\log}_3}4}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|(1 -{{\log}_3}4)}}\leqslant{3^0}\hfill \\{t^2}+ |t|(1 -{\log _3}4) \leqslant 0 \hfill \\{t^2}+ |t|{\log _3}\frac{3}{4}\leqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered}t^2+ t\log_3\frac{3}{4}\leqslant 0, \hfill \\t^2- t\log_3\frac{3}{4}\leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}0 \leqslant t \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}, \hfill \\-\log_3\frac{4}{3}\leqslant t \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow -{\log _3}\frac{4}{3}\leqslant t \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}\hfill \\ -{\log _3}\frac{4}{3}\leqslant 2x - 1 \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow 1 -{\log _3}2 \leqslant x \leqslant{\log _3}2 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Ananesh [ 19 май 2014, 14:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Спасибо. А как вы от пятой строчки (с учётом замены), перешли к шестой? Т.е. как получилось [math]1-\log_{3}{4}[/math]? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 май 2014, 14:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство со степенями и модулями |
Ananesh писал(а): Спасибо. А как вы от пятой строчки (с учётом замены), перешли к шестой? Т.е. как получилось Это же [math]a^x\cdot a^y= a^{x+y}[/math]. Ну а дальше вынес за скобку [math]|t|[/math]. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|