Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 10:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2014, 20:57
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите, как решается.
[math]3^{{(2x-1)}^2+\left| 2x-1 \right| }[/math] [math]\times 4^{-\left| 2x-1 \right| }[/math] [math]\leqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 13:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Учтите, что [math]a^2=\left| a \right|^2[/math]
Сделайте замену [math]t=\left| 2x-1 \right|[/math], [math]t \geqslant 0[/math]
Далее умножьте всё неравенство на [math]4^t > 0[/math]
После этого можно будет перейти к основанию 3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 15:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2014, 20:57
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, а как дальше? Привёл к основанию 3: 2[math]\log^{2}_{3}{t} - \frac{ \log_{3}{t} }{ \log_{3}{4} }=0[/math] . Правильно получилось?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 22:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как это у Вас получилось?
Вот, как я думаю это нужно решать:
[math]\frac{ 3^{t^2+t} }{ 4^t } \leqslant 1[/math] (*)
Это неравенство можно логарифмировать по основанию 3:
[math]\log_{3}{3^{t^2+t}}-\log_{3}{4^t} \leqslant 0[/math]
[math]t^2+t \leqslant t\log_{3}{4}[/math] (**)
Один из корней t=0.
Рассмотрим случай, если t не равно 0. Разделим неравенство на t (вспоминаем, что t неотрицательно).
...
Либо неравенство (*) можно было преобразовать так: умножим неравенство на [math]4^t>0[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 4^t[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 3^{t \log_{3}{4} }[/math]
... (приходим к тому же неравенству (**))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 00:53 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось

[math]1-\log_{3}2 \leqslant x \leqslant \log_{3}2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 13:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2014, 20:57
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
Как это у Вас получилось?
Вот, как я думаю это нужно решать:
[math]\frac{ 3^{t^2+t} }{ 4^t } \leqslant 1[/math] (*)
Это неравенство можно логарифмировать по основанию 3:
[math]\log_{3}{3^{t^2+t}}-\log_{3}{4^t} \leqslant 0[/math]
[math]t^2+t \leqslant t\log_{3}{4}[/math] (**)
Один из корней t=0.
Рассмотрим случай, если t не равно 0. Разделим неравенство на t (вспоминаем, что t неотрицательно).
...
Либо неравенство (*) можно было преобразовать так: умножим неравенство на [math]4^t>0[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 4^t[/math]
[math]3^{t^2+t} \leqslant 3^{t \log_{3}{4} }[/math]
... (приходим к тому же неравенству (**))


А что сделать с "1" из правой части при логарифмировании?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 13:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Единицу тоже логарифмируем.
[math]\log_{3}{1}=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 14:07 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я так решал

[math]\begin{gathered}3^{(2x - 1)^2 + |2x - 1|}\cdot 4^{-|2x - 1|}\leqslant 1 \hfill \\ [2x - 1 = t] \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{4^{- |t|}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{3^{{{\log}_3}{4^{- |t|}}}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|}}\cdot{3^{- |t|{{\log}_3}4}}\leqslant 1 \hfill \\{3^{{t^2}+ |t|(1 -{{\log}_3}4)}}\leqslant{3^0}\hfill \\{t^2}+ |t|(1 -{\log _3}4) \leqslant 0 \hfill \\{t^2}+ |t|{\log _3}\frac{3}{4}\leqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered}t^2+ t\log_3\frac{3}{4}\leqslant 0, \hfill \\t^2- t\log_3\frac{3}{4}\leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}0 \leqslant t \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}, \hfill \\-\log_3\frac{4}{3}\leqslant t \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow -{\log _3}\frac{4}{3}\leqslant t \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}\hfill \\ -{\log _3}\frac{4}{3}\leqslant 2x - 1 \leqslant{\log _3}\frac{4}{3}\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow 1 -{\log _3}2 \leqslant x \leqslant{\log _3}2 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 14:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2014, 20:57
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. А как вы от пятой строчки (с учётом замены), перешли к шестой? Т.е. как получилось [math]1-\log_{3}{4}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство со степенями и модулями
СообщениеДобавлено: 19 май 2014, 14:46 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ananesh писал(а):
Спасибо. А как вы от пятой строчки (с учётом замены), перешли к шестой? Т.е. как получилось

Это же [math]a^x\cdot a^y= a^{x+y}[/math]. Ну а дальше вынес за скобку [math]|t|[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство с модулями

в форуме Алгебра

pewpimkin

12

262

07 июл 2024, 16:14

Неравенство с модулями

в форуме Алгебра

Matrix

3

477

28 ноя 2015, 11:38

Неравенство со степенями

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

zakharova-forum

0

242

12 июл 2020, 16:12

Неравенство со степенями

в форуме Алгебра

zakharova-forum

1

264

11 июл 2020, 14:49

Неравенство со степенями

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

2

377

24 авг 2015, 21:49

Неравенство с большими степенями

в форуме Алгебра

Qwadrad

11

304

02 ноя 2022, 20:09

Уравнения с модулями

в форуме Алгебра

MrTweester

6

365

10 июл 2023, 18:41

Уравнения с модулями

в форуме Алгебра

o-_wOM N3w

2

547

15 окт 2015, 16:09

Уравнение с модулями

в форуме Алгебра

an212sha

5

678

09 май 2017, 08:41

Уравнение с модулями

в форуме Алгебра

Digenets

3

322

21 янв 2019, 21:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved