Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение (неравнество) с модулем
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=32204
Страница 1 из 1

Автор:  EvNik [ 04 апр 2014, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение (неравнество) с модулем

При раскрытии модуля в уравнении (неравенстве), когда рассматриваем два варианта, правильно расписывать случаи "подмодульное >= 0 и подмодульное <0", или же "подмодульное >= 0 и подмодульное <=0"? Т.е. надо ли в обоих записывать условие раскрытия через нестрогие неравенства, или можно только в первом случае записать нестрогое, а во втором - строгое? И вообще, может ли быть такое, что корень всего уравнения, который, в то же время, является нулем подмодульной функции, появится в случае "подмодульное <0", и поэтому не учитывается по условию раскрытия, хотя это действительный корень? Заранее благодарен за ответ.

Автор:  radix [ 04 апр 2014, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение (неравнество) с модулем

Грубой ошибки, я думаю, не будет, если в обоих случаях использовать нестрогое неравенство. Корни, обращающие подмодульное выражение в ноль, если таковые будут, всё равно войдут в ответ только один раз. Но всё же лучше этого не делать. Другое дело, что знак равенства можно, в зависимости от ситуации, поместить либо в рассмотрение случая, когда подмодульное выражение больше нуля, либо в рассмотрение случая, когда подмодульное выражение меньше нуля.
Например, для Вас очевидно, что в случае, когда подмодульное выражение [math]\geqslant 0[/math], уравнение будет иметь решения только при нулевых значениях подмодульного выражения. А вот для отрицательных значений подмодульного выражения, есть ещё корни, то, чтобы не тащить лишнюю систему, лучше будет равенство "приклеить" не к знаку [math]>[/math], а к знаку [math]<[/math]
[math]\left[\!\begin{aligned}& \left\{\!\begin{aligned}& x > 0 \\ & ... \end{aligned}\right. \\ & \left\{\!\begin{aligned}& x \leqslant 0 \\ & ... \end{aligned}\right. \end{aligned}\right.[/math]

Автор:  EvNik [ 04 апр 2014, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение (неравнество) с модулем

А может ли быть, что корень данного уравнения, который может появится при раскрытии модуля с отрицательным знаком, не войдет в условие раскрытие из-за строгого знака? Например, раскрываем в случаях x>=3 и х<3, вот втором случае выходит х=3 (в первом этого не выходит), и, проверяя этот корень, мы видим, что он действительный, но поскольку у нас х<3 строго, мы его формально учесть не можем?

Автор:  radix [ 04 апр 2014, 22:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение (неравнество) с модулем

EvNik писал(а):
Например, раскрываем в случаях x>=3 и х<3, вот втором случае выходит х=3 (в первом этого не выходит),...

Такого при правильном решении быть не может.

Автор:  radix [ 04 апр 2014, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение (неравнество) с модулем

Формально можно даже рассмотреть три случая: два строгих неравенства и одно равенство (нулю подмодульного выражения) отдельно. Но обычно так не делают, так как зачем писать лишнее, когда можно его не писать? Да и решение нестрогого неравенства мало чем отличается от решения строгого неравенства. В общем, главное - решить, к какому из знаков [math]>[/math] или [math]<[/math] будет удобнее "присоседить" [math]=[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/