Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательство теоремы R в степени S рационально
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=31769
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 20 мар 2014, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Доказательство теоремы R в степени S рационально

Добрый день!

Вот доказательство теоремы. Переводу на русский:
Теорема: Даны два иррациональных числа r и s. Доказать, что [math]r^{s}[/math] рациональное.
Доказательство: рассмотрим два случая.
1) Если [math]\sqrt{2} ^{\sqrt{2} }[/math] рациональное число, то мы можем взять [math]r=s=\sqrt{2}[/math].
2) Если [math]\sqrt{2} ^{\sqrt{2} }[/math] иррациональное число, то берем [math]r = \sqrt{2} ^{\sqrt{2} }[/math] и [math]s=\sqrt{2}[/math] . Путем нехитрых вычислений приходим к тому, что все это равно 2, то есть теорема доказана.

Мой вопрос: я совершенно не понимаю, почему во втором случае мы берем [math]r=\sqrt{2} ^{\sqrt{2} }[/math]? На основе чего, что это означает и так далее?

Пожалуйста, помогите понять.
Спасибо!

Автор:  Sviatoslav [ 20 мар 2014, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

afraumar, а Вам не кажется, что это доказательство просто фокус? К тому же, доказываемое утверждение неверно.

Автор:  afraumar [ 20 мар 2014, 21:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Sviatoslav писал(а):
afraumar, а Вам не кажется, что это доказательство просто фокус? К тому же, доказываемое утверждение неверно.

спасибо Вам за ответ. нет, не кажется :) это логическое доказательство, которое называется Proof by cases. Может быть это я что-то не так написала на русском?
Изображение

Автор:  Sviatoslav [ 20 мар 2014, 22:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Фокус тут в том, что в первом случае за [math]r[/math] берется одно число, а во втором случае другое. Это вас и смутило. Под [math]r[/math] может скрываться лишь одно число.

Автор:  Sviatoslav [ 20 мар 2014, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

По крайней мере, таково мое мнение. Может, это действительно какой-то супер-способ, способный доказывать невозможное)

Автор:  afraumar [ 21 мар 2014, 09:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Sviatoslav писал(а):
По крайней мере, таково мое мнение. Может, это действительно какой-то супер-способ, способный доказывать невозможное)


то есть получается, что r в степени s, если оба числа иррациональные, не даст рациональное число? вообще-то это из лекции Стенфордского профессора и суда по всему только у меня возник вопрос про это r (((

я все-таки не поняла, почему мы берем именно такое r во втором случае? то есть мы тогда доказываем от обратного - берем рациональное r и иррациональное s?

1) но мы не можем - потому что мы не знаем (до доказательства), что [math]r^{s}[/math] рационально

2) если у нас s равное кв корню из двух и при этом для доказательства мы берем r равное кв корню из двух в степени кв корня из двух, то как-то это уж совсем притянуто за уши, нет?

пожалуйста, помогите разобраться.
Спасибо!

Автор:  Shadows [ 21 мар 2014, 09:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Конечно, в условии написано, что существуют (есть) такие иррациональные числа r,s..., а не "даны два иррациональных числа"
"Теорема" существования. Только в кавичках, естесс-но.
afraumar писал(а):
я все-таки не поняла, почему мы берем именно такое r во втором случае? то есть мы тогда доказываем от обратного - берем рациональное r и иррациональное s?

Нет, берем именно иррациональное число[math]r=\sqrt 2^{\sqrt 2}[/math] и иррациональное число [math]s=\sqrt 2[/math]

Автор:  Sviatoslav [ 21 мар 2014, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Shadows писал(а):
Конечно, в условии написано, что существуют (есть) такие иррациональные числа r,s..., а не "даны два иррациональных числа"

Тогда, конечно, доказательство имеет смысл. Надо было самому перевести, эх, лентяй я :(

Автор:  afraumar [ 21 мар 2014, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Shadows писал(а):
Конечно, в условии написано, что существуют (есть) такие иррациональные числа r,s..., а не "даны два иррациональных числа"
"Теорема" существования. Только в кавичках, естесс-но.
afraumar писал(а):
я все-таки не поняла, почему мы берем именно такое r во втором случае? то есть мы тогда доказываем от обратного - берем рациональное r и иррациональное s?

Нет, берем именно иррациональное число[math]r=\sqrt 2^{\sqrt 2}[/math] и иррациональное число [math]s=\sqrt 2[/math]


пожалуйста, объясните мне подробнее - я правда не понимаю. в первом случае мы доказали, что [math]r=\sqrt 2^{\sqrt 2}[/math] рациональное число, а не иррациональное. или в этом случае мы делаем предположение, что оно должно быть иррациональным? и почему именно такое число [math]r=\sqrt 2^{\sqrt 2}[/math]?

Автор:  Sviatoslav [ 21 мар 2014, 21:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы R в степени S рационально

Я думаю так. Число [math]{\sqrt 2 ^{\sqrt 2}}[/math] может быть либо рациональным, либо нет. Мы не знаем. Поэтому рассматриваем два случая. Первый случай - если оно рациональное. Там не доказывается ни в коем случае, что это число рациональное. Просто предполагается. Отдельно второй случай - если оно иррациональное. Но так как мы предполагаем, что оно иррационально, почему бы его не взять в качестве [math]r[/math]? Почему именно его? Чтобы доказать утверждение, оно хорошо подходит. Можно все это сделать с [math]{\sqrt 3 ^{\sqrt 3}}[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/