Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=30794
Страница 1 из 2

Автор:  bnr07 [ 04 фев 2014, 11:06 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

1) ученик за одну неделю получил 17 оценок. каждая из них 2, 3, 4, 5. Среднеарифметическое этих 17 оценок целое число.доказать что какую то оценку он получил не более двух раз.

2)стозначное число n назовем необычным, если десятичная запись числа [math]n^3[/math] заканчивается на [math]n[/math], десятичная запись числа [math]n^2[/math] не заканчивается на [math]n[/math]. доказать что существует менее двух стозначных необычных чисел.
Очень срочно. Помогите пожалуйста чем сможете

Автор:  andrei [ 04 фев 2014, 11:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Да,это действительно задачи.А Вы чего хотели?

Автор:  bnr07 [ 04 фев 2014, 11:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

чтобы помогли доказать хотя бы 1 задачу. помогите пожалуйста если сможете

Автор:  andrei [ 04 фев 2014, 11:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

Это задачи с действующей олимпиады?Очень похоже по уровню сложности.

Автор:  bnr07 [ 04 фев 2014, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи

andrei писал(а):
Это задачи с действующей олимпиады?Очень похоже по уровню сложности.

нет, задачи на зачет. еще раз прошу, помогите пожалуйста

Автор:  Shadows [ 04 фев 2014, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

1) Посмотрите в каких пределах будет меняться сумма всех оценок
2)
bnr07 писал(а):
доказать что существует менее двух стозначных необычных чисел.

Менее, или не менее?

Автор:  andrei [ 04 фев 2014, 17:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

По первой задаче.Доказательство от противного.Пусть ученик за неделю получил [math]a[/math] двоек,[math]b[/math] троек,[math]c[/math] четверок и [math]d[/math] единиц.Где [math]a+b+c+d=17[/math].И пусть [math]a \geqslant 3 \quad b \geqslant 3 \quad c \geqslant 3 \quad d \geqslant 3[/math].
Тогда среднее арифметическое [math]S=\frac{ 2a+3b+4c+5d }{ 17 }[/math],если является целым числом,не может быть равно двум или пяти.Так как в случае,если [math]S=2[/math],то единственное решение [math]a=17 \quad b=c=d=0[/math]-получили противоречие,аналогично,когда [math]S=5[/math].
Значит среднее арифметическое равно либо [math]3[/math] либо [math]4[/math].
Рассмотрим случай [math]S=3[/math].Пусть [math]S=\frac{ 2a+3b+4c+5d }{ 17 }=3[/math] тогда [math]2a+3b+4c+5d=51[/math] и так как [math]b=17-a-c-d[/math],то [math]2a+3b+4c+5d=2a+3(17-a-c-d)+4c+4d=51-a+c+2d=51[/math] откуда [math]a=c+2d[/math].
Откуда [math]a+b+c+d=c+2d+b+c+d=b+2c+3d=17[/math]
А с другой стороны,мы предположили,что [math]a \geqslant 3 \quad b \geqslant 3 \quad c \geqslant 3 \quad d \geqslant 3[/math],то есть [math]b+2c+3d \geqslant 3+2 \cdot 3+3 \cdot 3=18[/math]-получили противоречие.
Аналогично рассматривается случай,когда [math]S=4[/math].

Автор:  radix [ 04 фев 2014, 18:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

У меня такое решение (немного неформальное):
Среднее арифметическое, очевидно, не может быть равно 2 или 5. Значит оно равно либо 3, либо 4.
Пусть оно равно 3. Чтобы среднее арифметическое было числом целым, то необходимо, чтобы двойки "уравновешивали" четвёрки и пятёрки на тройки. Я имею в виду, что одна двойка и одна четвёрка при расчёте среднего равносильны двум тройкам (мысленно "перекидываем" один балл с четвёрки на двойку). А одна пятёрка и две двойки равносильны трём тройкам.
Исходя из того, что среднее арифметическое - число целое, заключаем, что количество двоек равно количеству четвёрок плюс удвоенное количество пятёрок.
Пусть пятёрок х, четвёрок у, тогда двоек 2х+у. Не забываем про тройки, пусть их z.
Тогда всего оценок x+y+z+(2x+y). Очевидно, что если каждое из чисел х,у,z больше либо равно 3, то данное выражение будет больше 17.
Аналогично рассматриваем случай, когда среднее арифметическое равно 4.
:)

Автор:  Shadows [ 04 фев 2014, 18:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

Если получил все оценки от 2 до 5 не менее 3 раза, то в 12 экзаменов он получил 42 балла. В оставшихся 5 он может получит от [math]5\cdot 2=10[/math] до [math]5\cdot 5=25[/math] баллов. Или, сумма всех оценок будет от 52 до 67. В этом интервале нет ни одно число, делящееся на 17.

По второй задаче..подходят [math]n=5\cdot 10^{99}\pm 1[/math]

Автор:  radix [ 04 фев 2014, 18:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

По второй:
Имеем: [math]n^3-n[/math] оканчивается 100 нулями. Т.е.
[math]n^3-n=10^{100} k[/math]
[math]n(n-1)(n+1)=10^{100} k[/math]

Но, по условию, [math]n^2-n=n(n-1)[/math] не заканчивается на 100 нулей. Но нули в конце возможны, просто их меньше 100.

Очевидно, что из соседних чисел n, n+1, n-1 только одно может заканчиваться нулём, а значит и 100 нулями. Поскольку число n - стозначное, то ста нулями может заканчиваться только n+1.
Получаем, что n=9999999... (сто девяток)
:)
(По-моему, второе условие, про квадрат числа, оказалось лишним. :pardon: )

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/