Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Деление без остатка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=30772
Страница 2 из 4

Автор:  radix [ 03 фев 2014, 13:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Для школьников, на мой взгляд, может подойти такое решение:
[math]x^2+4x+2[/math] делится на 7 без остатка, значит
[math]x^2+4x[/math] при делении на 7 даёт остаток 7-2=5.
[math]x^2+4x=x(x+4)[/math]. Чтобы число, равное этому произведению, давало при делении на 7 остаток 5, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей давал бы остаток 1, а другой 5. (Так как 5 - простое число).
Очевидно, что в произведении [math]x(x+4)[/math] возможен только один вариант, а именно, x должно давать остаток 1 при делении на 7.
Осталось только определить, сколько чисел в нужном интервале при делении на 7 даёт остаток 1.
:)

Автор:  vorvalm [ 03 фев 2014, 13:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Я не вижу здесь применения теории сравнений.
Корни нового уравнения дают два решения:
[math]x_1=1+7k<100[/math]
[math]x_2=2+7k<100[/math]
[math]k\in N[/math]

Автор:  Andy [ 03 фев 2014, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Число [math]x^2+4x+2 \equiv x^2+4x-5\pmod{7},~x^2+4x-5=(x-1)(x+5)[/math] делится на простое число [math]7,[/math] если [math]x-1[/math] делится на [math]7[/math] или [math]x+5[/math] делится на [math]7.[/math] А это значит, что [math]x=1+7n[/math] или [math]x=-5+7n\equiv 2+7n,~n\in\mathbb{N} \cup 0.[/math] Теперь остаётся найти [math]|X|,~X=\left\{x|x\in[1,~...,~100] \right\}[/math] не находя числа [math]x[/math] непосредственно... :) Хотя для школьника, возможно сойдёт и перечисление с последующим подсчётом мощности множества [math]X.[/math]

Автор:  vorvalm [ 03 фев 2014, 14:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Исходя из двух решений уравнения, общее число чисел будет
[math][\frac{100-1}{7}]+[\frac{100-2}{7}]=28.[/math]

Автор:  Andy [ 03 фев 2014, 14:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

vorvalm, вряд ли школьник поймёт, о чём речь. И почему [math]28[/math]? Непосредственный подсчёт даёт [math]30.[/math]

Автор:  victor1111 [ 03 фев 2014, 14:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Tauka писал(а):
Сколько существует целых x на интервале [math]1<<x<<100[/math], при котором [math]x^2+4x+2[/math] делится на 7 без остатка

212.

Автор:  Andy [ 03 фев 2014, 15:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

victor1111, Вы шутите? Всего на этом интервале [math]100[/math] целых чисел. :shock: Откуда взялось [math]212[/math]?

Автор:  victor1111 [ 03 фев 2014, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Andy писал(а):
victor1111, Вы шутите? Всего на этом интервале [math]100[/math] целых чисел. :shock: Откуда взялось [math]212[/math]?
Был не прав.

Автор:  vorvalm [ 03 фев 2014, 16:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

Andy писал(а):
vorvalm, вряд ли школьник поймёт, о чём речь. И почему [math]28[/math]? Непосредственный подсчёт даёт [math]30.[/math]

Это как понимать условие задачи.
Я понял так, что [math]1<<x<<100[/math] означает просто [math]1<x<100[/math], но если
[math]1\leqslant x\leqslant 100[/math], то тогда конечно 30.

Автор:  Andy [ 03 фев 2014, 18:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление без остатка

vorvalm, да, выбор [math]28[/math] или [math]30[/math] чисел зависит от условия задачи.
Но (не подумайте только, что я придираюсь по мелочам) формула, которую Вы использовали для нахождения количества чисел, нуждается в пояснении, хотя бы для автора вопроса. Ведь может быть задан интервал, длина которого меньше числа [math]7...[/math] :)

Страница 2 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/