| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Деление без остатка http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=30772 |
Страница 2 из 4 |
| Автор: | radix [ 03 фев 2014, 13:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Для школьников, на мой взгляд, может подойти такое решение: [math]x^2+4x+2[/math] делится на 7 без остатка, значит [math]x^2+4x[/math] при делении на 7 даёт остаток 7-2=5. [math]x^2+4x=x(x+4)[/math]. Чтобы число, равное этому произведению, давало при делении на 7 остаток 5, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей давал бы остаток 1, а другой 5. (Так как 5 - простое число). Очевидно, что в произведении [math]x(x+4)[/math] возможен только один вариант, а именно, x должно давать остаток 1 при делении на 7. Осталось только определить, сколько чисел в нужном интервале при делении на 7 даёт остаток 1.
|
|
| Автор: | vorvalm [ 03 фев 2014, 13:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Я не вижу здесь применения теории сравнений. Корни нового уравнения дают два решения: [math]x_1=1+7k<100[/math] [math]x_2=2+7k<100[/math] [math]k\in N[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 03 фев 2014, 13:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Число [math]x^2+4x+2 \equiv x^2+4x-5\pmod{7},~x^2+4x-5=(x-1)(x+5)[/math] делится на простое число [math]7,[/math] если [math]x-1[/math] делится на [math]7[/math] или [math]x+5[/math] делится на [math]7.[/math] А это значит, что [math]x=1+7n[/math] или [math]x=-5+7n\equiv 2+7n,~n\in\mathbb{N} \cup 0.[/math] Теперь остаётся найти [math]|X|,~X=\left\{x|x\in[1,~...,~100] \right\}[/math] не находя числа [math]x[/math] непосредственно... Хотя для школьника, возможно сойдёт и перечисление с последующим подсчётом мощности множества [math]X.[/math]
|
|
| Автор: | vorvalm [ 03 фев 2014, 14:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Исходя из двух решений уравнения, общее число чисел будет [math][\frac{100-1}{7}]+[\frac{100-2}{7}]=28.[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 03 фев 2014, 14:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
vorvalm, вряд ли школьник поймёт, о чём речь. И почему [math]28[/math]? Непосредственный подсчёт даёт [math]30.[/math] |
|
| Автор: | victor1111 [ 03 фев 2014, 14:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Tauka писал(а): Сколько существует целых x на интервале [math]1<<x<<100[/math], при котором [math]x^2+4x+2[/math] делится на 7 без остатка 212. |
|
| Автор: | Andy [ 03 фев 2014, 15:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
victor1111, Вы шутите? Всего на этом интервале [math]100[/math] целых чисел. Откуда взялось [math]212[/math]?
|
|
| Автор: | victor1111 [ 03 фев 2014, 15:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Andy писал(а): victor1111, Вы шутите? Всего на этом интервале [math]100[/math] целых чисел. Был не прав.
Откуда взялось [math]212[/math]? |
|
| Автор: | vorvalm [ 03 фев 2014, 16:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
Andy писал(а): vorvalm, вряд ли школьник поймёт, о чём речь. И почему [math]28[/math]? Непосредственный подсчёт даёт [math]30.[/math] Это как понимать условие задачи. Я понял так, что [math]1<<x<<100[/math] означает просто [math]1<x<100[/math], но если [math]1\leqslant x\leqslant 100[/math], то тогда конечно 30. |
|
| Автор: | Andy [ 03 фев 2014, 18:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Деление без остатка |
vorvalm, да, выбор [math]28[/math] или [math]30[/math] чисел зависит от условия задачи. |
|
| Страница 2 из 4 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|