Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти натуральные пары чисел (x,y)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=28111
Страница 1 из 1

Автор:  olga12 [ 23 ноя 2013, 12:14 ]
Заголовок сообщения:  Найти натуральные пары чисел (x,y)

Помогите пожалуйста решить задание:
[math]2014^{x}- 2013^{x}= y^{2}[/math]

Нужно найти все натуральные пары чисел, которые удовлетворяю этому уравнение. (1,1) Понятно нашел, но я не знаю как доказать, что других не существует, или найти те, которые существуют. Раскладывал по разности н-тых степерней, там поидее нужно исследовать кратность второй скобки (первая равна еденице) на квадрат простого числа, но я не знаю как это сделать подскажите пожалуйста, очень спешу.

Автор:  Human [ 23 ноя 2013, 13:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти натуральные пары чисел (x,y)

Если [math]x>1[/math], то левая часть при делении на 4 даёт в остатке 3, а квадраты натуральных чисел никогда не дают такой остаток при делении на 4.

Автор:  olga12 [ 23 ноя 2013, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти натуральные пары чисел (x,y)

А почему левая часть при делении на 4 дает в остатке 3, для меня это не очевидно, уточните пожалуйста

Автор:  Human [ 23 ноя 2013, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти натуральные пары чисел (x,y)

[math]2014[/math] чётно, а в степени, большей единицы, оно делится на 4. Число [math]2013[/math] даёт в остатке 1, значит и в любой степени оно даёт 1. Значит разность даёт -1, или, что то же самое, 3.

Ну, или по индукции:

[math]2014^{n+1}-2013^{n+1}=(2014^n-2013^n)+2012\cdot(2014^n-2013^n)+2014^n[/math]

Автор:  mad_math [ 23 ноя 2013, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти натуральные пары чисел (x,y)

olga12 писал(а):
подскажите пожалуйста, очень спешу.
А куда вы спешите в субботу?

Автор:  olga12 [ 23 ноя 2013, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти натуральные пары чисел (x,y)

Спасибо большое за помощь, я понял. А спешу я потому что уже скоро у меня не будет доступа к интернету.

Автор:  mad_math [ 23 ноя 2013, 15:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти натуральные пары чисел (x,y)

olga12 писал(а):
А спешу я потому что уже скоро у меня не будет доступа к интернету.
Ужасы какие! Разве есть жизнь без интернета!? :D1

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/