Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что система не имеет корней
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27946
Страница 1 из 1

Автор:  Contego [ 18 ноя 2013, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что система не имеет корней

В процессе решения одной задачи вышел на систему:
[math]aA=1[/math]
[math]bB=1[/math]
[math]cC=1[/math]
[math]aB+bA=0[/math]
[math]bC+cB=0[/math]
[math]cA+aC=0[/math]

Необходимо ее решить или доказать, что решений нет. Из ответа к задаче ясно, что решений нет.
Каким образом можно доказать это? И возможно ли это в рамках программы 11 класса(задача из сборника для поступающих в МГУ)?

Заранее спасибо!

Автор:  Alexander N [ 18 ноя 2013, 21:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что система не имеет корней

[math]=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=0; \frac{b}{c}+\frac{c}{b}=0; \frac{c}{a}+\frac{a}{c}=0; => a^2=b^2=c^2;[/math]

[math]b=\pm a; \frac{a}{\pm a}+\frac{\pm a}{a}=\pm 2=0![/math] противоречие доказывает, что решения нет.

Автор:  Shadows [ 18 ноя 2013, 21:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что система не имеет корней

Как Вы думаете, уравнение [math]\frac B A +\frac A B =0[/math] имеет решений?

Автор:  Contego [ 18 ноя 2013, 22:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что система не имеет корней

Большое спасибо!

Расписал ваши решения и нашел более понятное доказательство. Надеюсь, оно кому-нибудь пригодится:

1) Из первых двух равенств получаем:
[math]a = \frac 1 A[/math]
[math]b = \frac 1 B[/math]
2) Подставляем в (4) и получаем:
[math]\frac B A +\frac A B = 0[/math]
3) Приводим к общему знаменателю:
[math]\frac {B^2+A^2} {AB} = 0[/math]
4) Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Значит:
[math]B^2 + A^2 = 0[/math]
Откуда:
[math]B^2 = - A^2[/math]
То есть [math]B^2[/math] и [math]A^2[/math] равны по модулю и противоположны по знаку. Последнее невозможно, т.к. любое число в квадрате - положительное число.

Еще раз спасибо пользователям Alexander N и Shadows.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/