| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать, что система не имеет корней http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27946 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Contego [ 18 ноя 2013, 21:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать, что система не имеет корней |
В процессе решения одной задачи вышел на систему: [math]aA=1[/math] [math]bB=1[/math] [math]cC=1[/math] [math]aB+bA=0[/math] [math]bC+cB=0[/math] [math]cA+aC=0[/math] Необходимо ее решить или доказать, что решений нет. Из ответа к задаче ясно, что решений нет. Каким образом можно доказать это? И возможно ли это в рамках программы 11 класса(задача из сборника для поступающих в МГУ)? Заранее спасибо! |
|
| Автор: | Alexander N [ 18 ноя 2013, 21:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что система не имеет корней |
[math]=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=0; \frac{b}{c}+\frac{c}{b}=0; \frac{c}{a}+\frac{a}{c}=0; => a^2=b^2=c^2;[/math] [math]b=\pm a; \frac{a}{\pm a}+\frac{\pm a}{a}=\pm 2=0![/math] противоречие доказывает, что решения нет. |
|
| Автор: | Shadows [ 18 ноя 2013, 21:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что система не имеет корней |
Как Вы думаете, уравнение [math]\frac B A +\frac A B =0[/math] имеет решений? |
|
| Автор: | Contego [ 18 ноя 2013, 22:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что система не имеет корней |
Большое спасибо! Расписал ваши решения и нашел более понятное доказательство. Надеюсь, оно кому-нибудь пригодится: 1) Из первых двух равенств получаем: [math]a = \frac 1 A[/math] [math]b = \frac 1 B[/math] 2) Подставляем в (4) и получаем: [math]\frac B A +\frac A B = 0[/math] 3) Приводим к общему знаменателю: [math]\frac {B^2+A^2} {AB} = 0[/math] 4) Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Значит: [math]B^2 + A^2 = 0[/math] Откуда: [math]B^2 = - A^2[/math] То есть [math]B^2[/math] и [math]A^2[/math] равны по модулю и противоположны по знаку. Последнее невозможно, т.к. любое число в квадрате - положительное число. Еще раз спасибо пользователям Alexander N и Shadows. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|