Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить уравнение и неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27533
Страница 1 из 1

Автор:  spirt1g [ 05 ноя 2013, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Решить уравнение и неравенство

возникли проблемы с этими примерами

1. решить уравнение
[math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 8[/math]

2. решить неравенство
[math](x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) > 144[/math]
может способы какие специальные есть?

Автор:  mad_math [ 05 ноя 2013, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

1. Перенесите всё влево и приведите к общему знаменателю.

2. [math](x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=(x^2+x-2)(x^2+x-12)[/math]
Замена [math]t=x^2+x-2[/math]. Тогда сначала нужно решить неравенство [math]t(t-10)\geq 144[/math]

Автор:  Avgust [ 05 ноя 2013, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

1. Приводим к виду:

[math]\frac{(x-2)^2(x^2+2x-2)}{(x-1)^2}=0[/math]

Учитывая, что [math]x \ne 1[/math], приравниваем числитель нулю. В итоге получим: [math]x_{1,2}=2\, ; \quad x_{3,4}=-1 \pm \sqrt{3}[/math]

Автор:  spirt1g [ 05 ноя 2013, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

Avgust писал(а):
1. Приводим к виду:

[math]\frac{(x-2)^2(x^2+2x-2)}{(x-1)^2}=0[/math]

Учитывая, что [math]x \ne 1[/math], приравниваем числитель нулю. В итоге получим: [math]x_{1,2}=2\, ; \quad x_{3,4}=-1 \pm \sqrt{3}[/math]

ещё вопросик, а как вы привели уравнение к такому виду?

Автор:  venjar [ 05 ноя 2013, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

spirt1g писал(а):
возникли проблемы с этими примерами

1. решить уравнение
[math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 8[/math]


может способы какие специальные есть?


Есть.
Самый изящный путь - дополнить левую часть до полного квадрата суммы.
После этого высветится замена переменной:

[math]t=\frac{ x^2 }{ x-1 }[/math]

Автор:  Avgust [ 05 ноя 2013, 20:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

Я решал громоздко, но верно. В числителе оказался полином:

[math]x^4-2x^3-6x^2+16x-8[/math]

Решать можно было бы методом Ферарри, но мне проще методом неопределенных коэффициентов. Предположил, что полином такой:

[math](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/math]

Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим:

[math]x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd[/math]

Сравнивая с нашим полиномом, составим 4 уравнения с 4-мя неизвестными:

[math]a+c=-2[/math]

[math]ac+b+d=-6[/math]

[math]ad+bc=16[/math]

[math]bd=-8[/math]

Из первого уравнения: [math]c=-a-2[/math]

Из четвертого: [math]b=-\frac 8d[/math]

Подставил это во второе и третье, решил и в итоге: [math]a=-4 \, ; \, d=-2[/math]

Тогда [math]b=4\, ; \, c=2[/math]

Отсюда и пишем числитель [math](x-4x+4)(x^2+2x-2)[/math]

Автор:  spirt1g [ 05 ноя 2013, 20:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

venjar писал(а):
spirt1g писал(а):
возникли проблемы с этими примерами

1. решить уравнение
[math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 8[/math]


может способы какие специальные есть?


Есть.
Самый изящный путь - дополнить левую часть до полного квадрата суммы.
После этого высветится замена переменной:

[math]t=\frac{ x^2 }{ x-1 }[/math]



да, мысль хорошая, сделал следующее:
[math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{(x - 1)}} = 8[/math]
[math]{(x + \frac{x}{{x - 1}})^2} = 8 + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}[/math]
[math]{(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}})^2} = 8 + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}[/math]

получил
[math]{t^2} - t - 8 = 0[/math]
D=33 и корни не получаются(

Автор:  mad_math [ 05 ноя 2013, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

Потому, что [math](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/math], а вы двойку перед произведением забыли.
Тут даже с дискриминантом возиться не нужно:
[math]t^2-2t-8=0[/math]

[math]t^2-2t+1-9=0[/math]

[math](t-1)^2=9[/math]

Автор:  spirt1g [ 05 ноя 2013, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

mad_math писал(а):
Потому, что [math](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/math], а вы двойку перед произведением забыли.
Тут даже с дискриминантом возиться не нужно:
[math]t^2-2t-8=0[/math]

[math]t^2-2t+1-9=0[/math]

[math](t-1)^2=9[/math]

да, спасибо большое, всё прекрасно получилось)

Автор:  Misha1 [ 05 ноя 2013, 20:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравнение и неравенство

умножим обе части уравнения на [math](x-1)^{2}[/math].Тогда после упрощений получим:
[math]x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+16x-8=0[/math]
[math](x^{4}-2x^{3})-(6x^{2}-12x)+(4x-8)=0[/math]
[math](x-2)(x^{3}-6x+4)=0[/math]
[math]x=2[/math] и [math](x^{3}-6x+4)=0[/math]
[math](x^{3}-4x-2x+4)=0[/math]
[math]x(x-2)(x+2)-2(x-2)[/math]
Дальше справитесь?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/