| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решить уравнение и неравенство http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27533 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | spirt1g [ 05 ноя 2013, 18:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Решить уравнение и неравенство |
возникли проблемы с этими примерами 1. решить уравнение [math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 8[/math] 2. решить неравенство [math](x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) > 144[/math] может способы какие специальные есть? |
|
| Автор: | mad_math [ 05 ноя 2013, 18:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
1. Перенесите всё влево и приведите к общему знаменателю. 2. [math](x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=(x^2+x-2)(x^2+x-12)[/math] Замена [math]t=x^2+x-2[/math]. Тогда сначала нужно решить неравенство [math]t(t-10)\geq 144[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 05 ноя 2013, 18:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
1. Приводим к виду: [math]\frac{(x-2)^2(x^2+2x-2)}{(x-1)^2}=0[/math] Учитывая, что [math]x \ne 1[/math], приравниваем числитель нулю. В итоге получим: [math]x_{1,2}=2\, ; \quad x_{3,4}=-1 \pm \sqrt{3}[/math] |
|
| Автор: | spirt1g [ 05 ноя 2013, 18:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
Avgust писал(а): 1. Приводим к виду: [math]\frac{(x-2)^2(x^2+2x-2)}{(x-1)^2}=0[/math] Учитывая, что [math]x \ne 1[/math], приравниваем числитель нулю. В итоге получим: [math]x_{1,2}=2\, ; \quad x_{3,4}=-1 \pm \sqrt{3}[/math] ещё вопросик, а как вы привели уравнение к такому виду? |
|
| Автор: | venjar [ 05 ноя 2013, 19:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
spirt1g писал(а): возникли проблемы с этими примерами 1. решить уравнение [math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 8[/math] может способы какие специальные есть? Есть. Самый изящный путь - дополнить левую часть до полного квадрата суммы. После этого высветится замена переменной: [math]t=\frac{ x^2 }{ x-1 }[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 05 ноя 2013, 20:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
Я решал громоздко, но верно. В числителе оказался полином: [math]x^4-2x^3-6x^2+16x-8[/math] Решать можно было бы методом Ферарри, но мне проще методом неопределенных коэффициентов. Предположил, что полином такой: [math](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/math] Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим: [math]x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd[/math] Сравнивая с нашим полиномом, составим 4 уравнения с 4-мя неизвестными: [math]a+c=-2[/math] [math]ac+b+d=-6[/math] [math]ad+bc=16[/math] [math]bd=-8[/math] Из первого уравнения: [math]c=-a-2[/math] Из четвертого: [math]b=-\frac 8d[/math] Подставил это во второе и третье, решил и в итоге: [math]a=-4 \, ; \, d=-2[/math] Тогда [math]b=4\, ; \, c=2[/math] Отсюда и пишем числитель [math](x-4x+4)(x^2+2x-2)[/math] |
|
| Автор: | spirt1g [ 05 ноя 2013, 20:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
venjar писал(а): spirt1g писал(а): возникли проблемы с этими примерами 1. решить уравнение [math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 8[/math] может способы какие специальные есть? Есть. Самый изящный путь - дополнить левую часть до полного квадрата суммы. После этого высветится замена переменной: [math]t=\frac{ x^2 }{ x-1 }[/math] да, мысль хорошая, сделал следующее: [math]{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{(x - 1)}} = 8[/math] [math]{(x + \frac{x}{{x - 1}})^2} = 8 + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}[/math] [math]{(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}})^2} = 8 + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}[/math] получил [math]{t^2} - t - 8 = 0[/math] D=33 и корни не получаются( |
|
| Автор: | mad_math [ 05 ноя 2013, 20:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
Потому, что [math](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/math], а вы двойку перед произведением забыли. Тут даже с дискриминантом возиться не нужно: [math]t^2-2t-8=0[/math] [math]t^2-2t+1-9=0[/math] [math](t-1)^2=9[/math] |
|
| Автор: | spirt1g [ 05 ноя 2013, 20:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
mad_math писал(а): Потому, что [math](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/math], а вы двойку перед произведением забыли. Тут даже с дискриминантом возиться не нужно: [math]t^2-2t-8=0[/math] [math]t^2-2t+1-9=0[/math] [math](t-1)^2=9[/math] да, спасибо большое, всё прекрасно получилось) |
|
| Автор: | Misha1 [ 05 ноя 2013, 20:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить уравнение и неравенство |
умножим обе части уравнения на [math](x-1)^{2}[/math].Тогда после упрощений получим: [math]x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+16x-8=0[/math] [math](x^{4}-2x^{3})-(6x^{2}-12x)+(4x-8)=0[/math] [math](x-2)(x^{3}-6x+4)=0[/math] [math]x=2[/math] и [math](x^{3}-6x+4)=0[/math] [math](x^{3}-4x-2x+4)=0[/math] [math]x(x-2)(x+2)-2(x-2)[/math] Дальше справитесь? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|