Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти все натуральные n
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27381
Страница 1 из 1

Автор:  Polati [ 31 окт 2013, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Найти все натуральные n

Привествую всех.
Возник спор с подругой по поводу задачи:
Найдите все такие натуральные n, что при вычеркивании первой цифры из числа [math]{4^n}[/math] снова получается число, являющееся натуральной степенью числа 4.
Ответ 3.
Её решение таково.
Существует две последовательности.
1. Число 4 имеет последние цифры 4 и 6, для нечетных и четных степеней соотвественно.
2. Последние 2 цифры раличаются от предыдущих степеней на 60(для нечетных степеней 4-64-1024) и 40(для четных).
Для того, чтобы выполнялось условие задачи необходимо чтобы последняя цифра числа 4^n совпадало с последней цифрой числа 4^m( число после вычеркивания первой цифры).
Но т.к. такое условие выполняется с шагом >=2, а все числа с данным шагом отличаютя друг от друга на 40,60,80,120 и т.д, то никакое другое условие кроме 3 невозможно
Верно ее решение?

Автор:  Shadows [ 31 окт 2013, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все натуральные n

Рассуждения правильные, но побольше строгости не мешало бы. Можно пойти обратным путем: Есть к-значное (в десятичной системе счисления) число [math]4^n[/math] Умножаем его на степень четверки и получаем [math]k+1[/math] - значние число. Сразу можно сказать, что этот множитель должен быть меньше 100. Тоесть, 4,16 или 64. Правильно заметили, что годится только четная степень четверки - 16. Или

[math]16\cdot 4^n=A\cdot 10^k+4^n[/math]
[math]A\cdot 10^k=4^n\cdot 15[/math]
Правая часть делится на 5 и не делится на 25, значит [math]k=1[/math]
Уже все определяется однозначно, [math]A=6,k=1,16\cdot 4=64[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/