| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти все натуральные n http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27381 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Polati [ 31 окт 2013, 14:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти все натуральные n |
Привествую всех. Возник спор с подругой по поводу задачи: Найдите все такие натуральные n, что при вычеркивании первой цифры из числа [math]{4^n}[/math] снова получается число, являющееся натуральной степенью числа 4. Ответ 3. Её решение таково. Существует две последовательности. 1. Число 4 имеет последние цифры 4 и 6, для нечетных и четных степеней соотвественно. 2. Последние 2 цифры раличаются от предыдущих степеней на 60(для нечетных степеней 4-64-1024) и 40(для четных). Для того, чтобы выполнялось условие задачи необходимо чтобы последняя цифра числа 4^n совпадало с последней цифрой числа 4^m( число после вычеркивания первой цифры). Но т.к. такое условие выполняется с шагом >=2, а все числа с данным шагом отличаютя друг от друга на 40,60,80,120 и т.д, то никакое другое условие кроме 3 невозможно Верно ее решение? |
|
| Автор: | Shadows [ 31 окт 2013, 16:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти все натуральные n |
Рассуждения правильные, но побольше строгости не мешало бы. Можно пойти обратным путем: Есть к-значное (в десятичной системе счисления) число [math]4^n[/math] Умножаем его на степень четверки и получаем [math]k+1[/math] - значние число. Сразу можно сказать, что этот множитель должен быть меньше 100. Тоесть, 4,16 или 64. Правильно заметили, что годится только четная степень четверки - 16. Или [math]16\cdot 4^n=A\cdot 10^k+4^n[/math] [math]A\cdot 10^k=4^n\cdot 15[/math] Правая часть делится на 5 и не делится на 25, значит [math]k=1[/math] Уже все определяется однозначно, [math]A=6,k=1,16\cdot 4=64[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|