Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Корни квадратного уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27050
Страница 2 из 2

Автор:  Alexander N [ 22 окт 2013, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

radix писал(а):
Alexander N писал(а):
[math]x^2\pm 2p x \pm q=0; p=\frac{b}{2a}[/math]

Пока не пойму, что это может нам дать. :unknown:

Вспомним Пифагоров треугольник [math]=> p=3; q=-16; => x_{1,2}=-p\pm \sqrt{p^2-q}= -3 \pm 5;[/math] и Так далее, причем очевидно что решений можно подобрать бесконечно большое количество. Главное, чтобы под корнем получался квадрат целого числа M по формуле [math]q=p^2-M^2[/math]

Автор:  radix [ 22 окт 2013, 15:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Alexander N писал(а):
Вспомним Пифагоров треугольник [math]=> p=3; q=-16; => x_{1,2}=-p\pm \sqrt{p^2-q}= -3 \pm 5;[/math] и Так далее, причем очевидно что решений можно подобрать бесконечно большое количество. Главное, чтобы под корнем получался квадрат целого числа M по формуле [math]q=p^2-M^2[/math]


У нас q в одних уравнениях с плюсом, в других - с минусом. Подкоренное выражение должно давать целый квадрат и в случае с [math]p^{2}-q[/math] и в случае с [math]p^{2}+q[/math].

Автор:  radix [ 22 окт 2013, 15:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Shadows писал(а):
Всех решений можно получить из параметризации системы:
[math]p^2+4q=u^2[/math]
[math]p^2-4q=v^2[/math]

Или [math]u^2+v^2=2p^2[/math]

Решаем, получаем в итоге параметризацию:
[math]p=m^2+2mn+2n^2[/math]
[math]q=mn(m^2+3mn+2n^2)[/math]

Shadows, скажите пожалуйста, как Вы ввели m и n?

Автор:  Shadows [ 22 окт 2013, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Решая уравнение [math]u^2+v^2=2p^2[/math]. Нужно найти все целые взаимнопростые решения. Другие получаются от взаимнопростых, уможенные на коэффициент.
"Метод секущих" позволяет это сделать для любых кривых второго порядка. (уравнение сводится к [math]x^2+y^2=2[/math] в рациональных). В данном случае кажется можно методом "тыка" свести к Пифагоровым тройкам).
Не буду подробно останавливатся, в нете есть хорошие статьи про метод "секущих". Взаимнопростые решения уравнения описываются с помощью параметризации: (m,n параметры):
[math]u=m^2+4mn+2n^2[/math]
[math]v=m^2-2n^2[/math]
[math]p=m^2+2mn+2n^2[/math]

Где m и n - взаимнопростые. Причем если m - четное, то все нужно поделить на 2.
Ну и из них можно получить и q
[math]4q=u^2-v^2=(u-v)(u+v)=\cdots=4mn(m^2+3mn+2n^2)[/math]

Условия на m,n те же. А все решения - [math]tp,t^2q[/math] где t - любое целое.

Автор:  andrei [ 22 окт 2013, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Или
[math]u=-m^{2}+2mn+n^{2}[/math]
[math]v=m^{2}+2mn-n^{2}[/math]
[math]p=m^{2}+n^{2}[/math]

Автор:  Shadows [ 22 окт 2013, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

andrei писал(а):
Или
[math]u=-m^{2}+2mn+n^{2}[/math]
[math]v=m^{2}+2mn-n^{2}[/math]
[math]p=m^{2}+n^{2}[/math]

Да, смещением:) Так лучше

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/