| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Корни квадратного уравнения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27050 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Vasyaaaa2a [ 21 окт 2013, 21:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Корни квадратного уравнения |
Существуют ли такие натуральные числа [math]a,\, b[/math], и [math]c[/math] что у каждого из уравнений [math]aX^2+bX+c=0[/math] [math]aX^2-bX-c=0[/math] [math]aX^2-bX+c=0[/math] [math]aX^2-bX-c=0[/math] оба корня --целые? |
|
| Автор: | Alexander N [ 21 окт 2013, 21:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
[math]1). x^2-n^2=0; 2). a X^2=0; a \in C; 3). (x+n)^2=0; a \n N;[/math] PS. Пожалуй после моего ответа задача становится неинтересной, а интересен вопрос - найти все множество значений a,b,c, для которых уравнение имеет целые решения. PS2. Задача элементарна - детский сад! |
|
| Автор: | radix [ 21 окт 2013, 23:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
В четвёртом уравнении, скорее всего, первый знак "плюс". |
|
| Автор: | radix [ 21 окт 2013, 23:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
Alexander N писал(а): [math]1). x^2-n^2=0; 2). a X^2=0; a \in C; 3). (x+n)^2=0; a \n N;[/math] PS. Пожалуй после моего ответа задача становится неинтересной, а интересен вопрос - найти все множество значений a,b,c, для которых уравнение имеет целые решения. PS2. Задача элементарна - детский сад! Ничего себе у Вас детский сад! А как Вы получили эти равенства? Обращаю Ваше внимание, что в условии не система уравнений. Поэтому их нельзя складывать, вычитать и т.д. |
|
| Автор: | radix [ 21 окт 2013, 23:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
Как решить не знаю. Но вот мои рассуждения, может, будет полезно. Разделим каждое уравнение на а. Используем теорему Виета. Чтобы корни уравнений были целыми, необходимо, чтобы b и c делились на a. Заменим: [math]\frac{ b }{ a } =p ; \frac{ c }{ a } =q; p,q \in \mathbb{N}[/math] [math]x^{2}+px+q=0[/math] [math]x^{2}-px-q=0[/math] [math]x^{2}-px+q=0[/math] [math]x^{2}+px-q=0[/math] Если разложить корни каждого уравнения на простые множители, то очевидно, что набор этих множителей для всех уравнений будет один и тот же. Так как произведение корней во всех случаях равно q или -q. Отличие будет только в знаках. Осталось добиться такой комбинации, чтобы можно было из корней составить равные суммы (равные р или -р). Это пока не знаю как сделать.
|
|
| Автор: | Alexander N [ 22 окт 2013, 00:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
radix писал(а): Ничего себе у Вас детский сад! А как Вы получили эти равенства? Обращаю Ваше внимание, что в условии не система уравнений. Поэтому их нельзя складывать, вычитать и т.д. Элементарно![math]1). a=b=0; c=\pm1; 2). b=c=0; 3). a=1; b=2n; c=n^2; n \in N[/math] |
|
| Автор: | radix [ 22 окт 2013, 00:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
По условию a, b и c - натуральные, значит, не равные 0. Кроме того Alexander N писал(а): [math]1). a=b=0; c=\pm1;[/math] Если а=0 и b=0, а с=+-1, то уравнения не имеют решений. |
|
| Автор: | Alexander N [ 22 окт 2013, 00:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
[math]x^2\pm 2p x \pm q=0; p=\frac{b}{2a}[/math] |
|
| Автор: | radix [ 22 окт 2013, 00:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
Alexander N писал(а): [math]x^2\pm 2p x \pm q=0; p=\frac{b}{2a}[/math] Пока не пойму, что это может нам дать.
|
|
| Автор: | Shadows [ 22 окт 2013, 13:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Корни квадратного уравнения |
Все сводится к системе radix Всех решений можно получить из параметризации системы: [math]p^2+4q=u^2[/math] [math]p^2-4q=v^2[/math] Или [math]u^2+v^2=2p^2[/math] Решаем, получаем в итоге параметризацию: [math]p=m^2+2mn+2n^2[/math] [math]q=mn(m^2+3mn+2n^2)[/math] При [math]m=1,n=1[/math] получим наименьшее решение [math]p=5, q=6[/math] Или [math]x^2\pm 5x \pm 6=0[/math] все решения целые. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|