Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Корни квадратного уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=27050
Страница 1 из 2

Автор:  Vasyaaaa2a [ 21 окт 2013, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Корни квадратного уравнения

Существуют ли такие натуральные числа [math]a,\, b[/math], и [math]c[/math] что у каждого из уравнений

[math]aX^2+bX+c=0[/math]
[math]aX^2-bX-c=0[/math]
[math]aX^2-bX+c=0[/math]
[math]aX^2-bX-c=0[/math]

оба корня --целые?

Автор:  Alexander N [ 21 окт 2013, 21:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

[math]1). x^2-n^2=0; 2). a X^2=0; a \in C; 3). (x+n)^2=0; a \n N;[/math]
PS. Пожалуй после моего ответа задача становится неинтересной, а интересен вопрос - найти все множество значений a,b,c, для которых уравнение имеет целые решения.
PS2. Задача элементарна - детский сад!

Автор:  radix [ 21 окт 2013, 23:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

В четвёртом уравнении, скорее всего, первый знак "плюс".

Автор:  radix [ 21 окт 2013, 23:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Alexander N писал(а):
[math]1). x^2-n^2=0; 2). a X^2=0; a \in C; 3). (x+n)^2=0; a \n N;[/math]
PS. Пожалуй после моего ответа задача становится неинтересной, а интересен вопрос - найти все множество значений a,b,c, для которых уравнение имеет целые решения.
PS2. Задача элементарна - детский сад!

Ничего себе у Вас детский сад! :)
А как Вы получили эти равенства? Обращаю Ваше внимание, что в условии не система уравнений. Поэтому их нельзя складывать, вычитать и т.д.

Автор:  radix [ 21 окт 2013, 23:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Как решить не знаю. Но вот мои рассуждения, может, будет полезно.
Разделим каждое уравнение на а. Используем теорему Виета. Чтобы корни уравнений были целыми, необходимо, чтобы b и c делились на a. Заменим: [math]\frac{ b }{ a } =p ; \frac{ c }{ a } =q; p,q \in \mathbb{N}[/math]
[math]x^{2}+px+q=0[/math]
[math]x^{2}-px-q=0[/math]
[math]x^{2}-px+q=0[/math]
[math]x^{2}+px-q=0[/math]
Если разложить корни каждого уравнения на простые множители, то очевидно, что набор этих множителей для всех уравнений будет один и тот же. Так как произведение корней во всех случаях равно q или -q. Отличие будет только в знаках.
Осталось добиться такой комбинации, чтобы можно было из корней составить равные суммы (равные р или -р). Это пока не знаю как сделать. :(

Автор:  Alexander N [ 22 окт 2013, 00:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

radix писал(а):
Ничего себе у Вас детский сад! :)
А как Вы получили эти равенства? Обращаю Ваше внимание, что в условии не система уравнений. Поэтому их нельзя складывать, вычитать и т.д.

:Yahoo!: :Yahoo!: Элементарно!
[math]1). a=b=0; c=\pm1; 2). b=c=0; 3). a=1; b=2n; c=n^2; n \in N[/math]

Автор:  radix [ 22 окт 2013, 00:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

По условию a, b и c - натуральные, значит, не равные 0.
Кроме того
Alexander N писал(а):
[math]1). a=b=0; c=\pm1;[/math]

Если а=0 и b=0, а с=+-1, то уравнения не имеют решений.

Автор:  Alexander N [ 22 окт 2013, 00:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

[math]x^2\pm 2p x \pm q=0; p=\frac{b}{2a}[/math]

Автор:  radix [ 22 окт 2013, 00:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Alexander N писал(а):
[math]x^2\pm 2p x \pm q=0; p=\frac{b}{2a}[/math]

Пока не пойму, что это может нам дать. :unknown:

Автор:  Shadows [ 22 окт 2013, 13:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Корни квадратного уравнения

Все сводится к системе radix
Всех решений можно получить из параметризации системы:
[math]p^2+4q=u^2[/math]
[math]p^2-4q=v^2[/math]

Или [math]u^2+v^2=2p^2[/math]

Решаем, получаем в итоге параметризацию:
[math]p=m^2+2mn+2n^2[/math]
[math]q=mn(m^2+3mn+2n^2)[/math]

При [math]m=1,n=1[/math] получим наименьшее решение [math]p=5, q=6[/math]
Или [math]x^2\pm 5x \pm 6=0[/math] все решения целые.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/