Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательство неравенства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26969
Страница 1 из 1

Автор:  Valensiao [ 18 окт 2013, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Доказательство неравенства

докажите, что [math]x^4+y^4+z^2+1\geq 2x\cdot(x\cdot y^2-x+z+1)[/math] :shock:

Автор:  Avgust [ 18 окт 2013, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство неравенства

Достаточно методом дифф. исчисления показать, что

[math]min \left [ x^4+y^4+z^2+1-2x(xy^2-x+z+1) \right ]=0[/math]

при [math]x=1\, ; \quad y=\pm 1 \, ; \quad z=1[/math]

Это вытекает из решения системы трех производных:

[math]4x^3-4xy^2+4x-2z-2=0[/math]

[math]4y^3-4x^2y=0[/math]

[math]2z-2x=0[/math]

Автор:  Valensiao [ 18 окт 2013, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство неравенства

Я только в 10 классе, поэтому я пока не знаю тот метод, который предложили вы мне.

Автор:  radix [ 18 окт 2013, 19:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство неравенства

Перенесите все в левую часть, выделите полные квадраты.

Автор:  radix [ 18 окт 2013, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство неравенства

Переносим всё в левую часть. Левая часть равна
[math]x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}+z^{2}-2xz+x^{2}+x^{2}-2x+1=(x^{2}-y^{2} )^{2}+(z-x)^{2}+(x-1)^{2}[/math]
Очевидно, что это выражение больше либо равно нулю при любых значениях переменных. Значит, в исходном неравенстве знак поставлен верно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/