Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение неравенств
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26941
Страница 1 из 1

Автор:  MountainDew [ 17 окт 2013, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Решение неравенств

Помогите пожалуйста, завтра уже зачет, а я все никак не могу решить 4 неравенства, которые необходимо сдать :(
1. Докажите, что для любых чисел x и y отличных от нуля выполняется неравенство:
[math]x^4+y^4\leq\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}[/math]

2. Докажите неравенство
[math]\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}...\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}<\frac{2}{5}[/math]

3.Доказать неравенство
[math]\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}>8[/math] где [math]a>0,\, b>0[/math]

4. Пусть [math]x,y,z >0,\, x+y+z=3[/math]
Доказать неравенство
[math]\frac{x+y}{xy(4-xy)}+\frac{y+z}{yz(4-yz)}+\frac{z+x}{zx(4-zx)}\geq 2[/math]



помогите решить, пожалуйста, даже не знаю с чего начинать...
Изображение
Изображение

Автор:  Human [ 17 окт 2013, 20:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение неравенств

Доказывать эти неравенства можно весьма разными способами, поэтому не совсем понятно, какое именно решение предполагается. Что было у Вас на занятиях, какие методы Вы там рассматривали?

В первом после умножения на [math]x^2y^2[/math] можно разложить на множители

[math](x^2-y^2)^2(x^4+x^2y^2+1)\geqslant0[/math]

Во втором можно для соседних пар слагаемых провести оценку

[math]\frac1n-\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}<\frac1{(n-1)(n+1)}=\frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)[/math]

после чего указанная сумма оценивается сверху числом

[math]\frac12-\frac13+\frac12\cdot\frac13-\frac12\cdot\frac1{999}+\frac1{1000}<\frac13+\frac1{2000}<\frac25[/math]

В последнем (предполагая положительность чисел [math]a[/math] и [math]b[/math])после раскрытия скобок можно применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

[math]\frac{(a+1)^2}b+\frac{(b+1)^2}a=\frac{a^2}b+\frac ab+\frac ab+\frac1b+\frac{b^2}a+\frac ba+\frac ba+\frac1a\geqslant8\sqrt[8]{\frac{a^2}b\cdot\frac ab\cdot\frac ab\cdot\frac1b\cdot\frac{b^2}a\cdot\frac ba\cdot\frac ba\cdot\frac1a}=8[/math]

Но я сомневаюсь, что предполагались именно такие решения.

Автор:  MountainDew [ 17 окт 2013, 21:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение неравенств

знаете, мне бы хоть что-нибудь написать...
честно пыталась разобраться, но ничего не получилось...
а последнее 4 неравенство? не подскажите что здесь?
в 1 неравенстве это будет окончательный ответ?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/