Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение неравенств
СообщениеДобавлено: 17 окт 2013, 16:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июн 2013, 12:52
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста, завтра уже зачет, а я все никак не могу решить 4 неравенства, которые необходимо сдать :(
1. Докажите, что для любых чисел x и y отличных от нуля выполняется неравенство:
[math]x^4+y^4\leq\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}[/math]

2. Докажите неравенство
[math]\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}...\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}<\frac{2}{5}[/math]

3.Доказать неравенство
[math]\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}>8[/math] где [math]a>0,\, b>0[/math]

4. Пусть [math]x,y,z >0,\, x+y+z=3[/math]
Доказать неравенство
[math]\frac{x+y}{xy(4-xy)}+\frac{y+z}{yz(4-yz)}+\frac{z+x}{zx(4-zx)}\geq 2[/math]



помогите решить, пожалуйста, даже не знаю с чего начинать...
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенств
СообщениеДобавлено: 17 окт 2013, 20:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказывать эти неравенства можно весьма разными способами, поэтому не совсем понятно, какое именно решение предполагается. Что было у Вас на занятиях, какие методы Вы там рассматривали?

В первом после умножения на [math]x^2y^2[/math] можно разложить на множители

[math](x^2-y^2)^2(x^4+x^2y^2+1)\geqslant0[/math]

Во втором можно для соседних пар слагаемых провести оценку

[math]\frac1n-\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}<\frac1{(n-1)(n+1)}=\frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)[/math]

после чего указанная сумма оценивается сверху числом

[math]\frac12-\frac13+\frac12\cdot\frac13-\frac12\cdot\frac1{999}+\frac1{1000}<\frac13+\frac1{2000}<\frac25[/math]

В последнем (предполагая положительность чисел [math]a[/math] и [math]b[/math])после раскрытия скобок можно применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

[math]\frac{(a+1)^2}b+\frac{(b+1)^2}a=\frac{a^2}b+\frac ab+\frac ab+\frac1b+\frac{b^2}a+\frac ba+\frac ba+\frac1a\geqslant8\sqrt[8]{\frac{a^2}b\cdot\frac ab\cdot\frac ab\cdot\frac1b\cdot\frac{b^2}a\cdot\frac ba\cdot\frac ba\cdot\frac1a}=8[/math]

Но я сомневаюсь, что предполагались именно такие решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение неравенств
СообщениеДобавлено: 17 окт 2013, 21:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июн 2013, 12:52
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
знаете, мне бы хоть что-нибудь написать...
честно пыталась разобраться, но ничего не получилось...
а последнее 4 неравенство? не подскажите что здесь?
в 1 неравенстве это будет окончательный ответ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение неравенств

в форуме Алгебра

m000gg123

4

268

09 дек 2023, 17:08

Решение неравенств с модулями

в форуме Алгебра

powerafin

5

177

24 фев 2024, 22:48

Равносильность неравенств

в форуме Алгебра

feechka-vinks

6

476

29 авг 2016, 13:41

Система неравенств

в форуме Алгебра

kicultanya

0

219

26 дек 2016, 15:38

Система неравенств

в форуме Алгебра

kucher

7

360

17 ноя 2015, 18:56

Система неравенств С 3

в форуме Алгебра

kicultanya

3

440

01 янв 2017, 10:15

Преобразование неравенств

в форуме Алгебра

Alexandr K

2

399

07 апр 2018, 09:07

Система неравенств

в форуме Алгебра

Kristinadefa

4

327

11 май 2015, 09:35

Система неравенств

в форуме Алгебра

evija220

1

451

08 май 2015, 19:13

Система неравенств

в форуме Алгебра

Lady922

4

476

12 июн 2017, 21:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved