Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифмическое неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26929
Страница 1 из 1

Автор:  LittleMan [ 17 окт 2013, 12:57 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмическое неравенство

Дано логарифмическое неравенство [math]\[{\log _{\frac{x}{3}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}}} \right) \geqslant 0\][/math]

У меня вопрос по тому, как найти область допустимых значений:

Во-первых, [math]\[\frac{x}{3} > 0\][/math] и [math]\[\frac{x}{3} \ne 1\][/math]
Во-вторых, [math]\[{\log _3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}} > 0\][/math]
В-третьих, [math]\[\frac{{x - 12}}{{x - 10}} > 0\][/math]
В-четвёртых, [math]\[x - 10 \ne 0\][/math]

Если это правильно, то у меня не получется решить [math]\[{\log _3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}} > 0\][/math]. Здесь нужно решить уравнение [math]\[{\log _3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}} = 0\][/math], а оно приводит к [math]\[\frac{{x - 12}}{{x - 10}} = 1\][/math], и это меня смущает.

Подскажите, пожалуйста, в чём ошибка, и какой в итоге получится область допустимых значений?

Автор:  mad_math [ 17 окт 2013, 13:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Условие [math]\frac{x-12}{x-10}>0[/math] уже подразумевает, что [math]x-10\ne 0[/math]

Автор:  mad_math [ 17 окт 2013, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

[math]\frac{x-12}{x-10}>1\Rightarrow \frac{x-12}{x-10}-1>0\Rightarrow \frac{x-12}{x-10}-\frac{x-10}{x-10}>0\Rightarrow \frac{x-12-x+10}{x-10}>0\Rightarrow -\frac{2}{x-10}>0\Rightarrow ...[/math]
Дробно-линейных неравенств никогда не решали что ли?

Автор:  Analitik [ 17 окт 2013, 13:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

LittleMan писал(а):
У меня вопрос по тому, как найти область допустимых значений:

Во-первых, \[\frac{x}{3} > 0\] и \[\frac{x}{3} \ne 1\]
Во-вторых, \[{\log _3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}} > 0\]
В-третьих, \[\frac{{x - 12}}{{x - 10}} > 0\]
В-четвёртых, \[x - 10 \ne 0\]

Если это правильно, то у меня не получется решить


Объединяете это все в систему. решение этой системы и будет областью допустимых значений.

Автор:  Alexander N [ 17 окт 2013, 13:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

LittleMan писал(а):
Если это правильно, то у меня не получется решить [math]\[{\log _3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}} > 0\][/math]. Здесь нужно решить уравнение [math]\[{\log _3}\frac{{x - 12}}{{x - 10}} = 0\][/math], а оно приводит к [math]\[\frac{{x - 12}}{{x - 10}} = 1\][/math], и это меня смущает.
Подскажите, пожалуйста, в чём ошибка, и какой в итоге получится область допустимых значений?

[math]\frac{x - 12}{x - 10} = 1; => x=\pm \infty;[/math]

[math]\frac{x - 12}{x - 10} > 1;=> 1). x> 10;=> x-12 > x-10; => -12>-10;[/math] Противоречивое неравенство говорит о том, что решений нет.

[math]2). x < 10; x-12 < x-10; -12< -10;[/math] Получается, что [math]x<10[/math], что совпадает с решением mad_math

Автор:  pewpimkin [ 17 окт 2013, 14:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

(x-10/x-12)>0 можно в ОДЗ не писать, потому что потом вы решаете пример (x-10/x-12)>1, а если эта величина больше 1 , то больше 0 она будет и подавно.
Если не ошибся, то ответ на все неравенство будет (0;3),(9;10), причем 9 включительно

Автор:  pewpimkin [ 17 окт 2013, 16:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/