Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Геометрическая прогрессия
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26902
Страница 2 из 2

Автор:  radix [ 16 окт 2013, 22:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

mad_math, спасибо. Конечно же возвратное. :oops:

Автор:  Alexander N [ 17 окт 2013, 02:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

mad_math писал(а):
[math]1+q^2+q^4=(1+q+q^2)(1-q+q^2)[/math]

Похоже эта формула имеет общий характер, или я чего то не знаю. Как вы ее вывели?

Автор:  mad_math [ 17 окт 2013, 02:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

Лично я, вот так:
[math]q^4+q^2+1=q^4+2q^2+1-q^2=(q^2+1)^2-q^2[/math]
Можно попробовать и через неопределённые коэффициенты.
Я понимаю, что моё решение длиннее и , вероятно, выходит за рамки школьной программы. Просто интересно было, можно ли обойти уравнение 4-й степени стороной :)

Автор:  radix [ 17 окт 2013, 10:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

Alexander N писал(а):
mad_math писал(а):
[math]1+q^2+q^4=(1+q+q^2)(1-q+q^2)[/math]

Похоже эта формула имеет общий характер, или я чего то не знаю. Как вы ее вывели?

О! Кроме вышеприведённой, есть ещё несколько прекрасных формул, которые неплохо бы помнить наряду с формулами сокращённого умножения (хотя лично я их постоянно забываю, и поэтому имею шпаргалку :D1 )
[math]a^{4}+b^{4}=(a^{2}+\sqrt{2}ab+b^{2})(a^{2}-\sqrt{2}ab+b^{2} )[/math] и как частный случай
[math]x^{4}+1=(x^{2}-\sqrt{2}x+1 )(x^{2}+\sqrt{2}x+1 )[/math]
[math]x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1=(x^{2}+x+1)^{2}[/math]
:Rose:

Автор:  Alexander N [ 17 окт 2013, 11:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

mad_math писал(а):
Лично я, вот так:
[math]q^4+q^2+1=q^4+2q^2+1-q^2=(q^2+1)^2-q^2[/math]
Можно попробовать и через неопределённые коэффициенты.
Я понимаю, что моё решение длиннее и , вероятно, выходит за рамки школьной программы. Просто интересно было, можно ли обойти уравнение 4-й степени стороной :)

При решении этой задачи методом неопределенных коэффициентов у меня получилась еще и другая формула
[math](1+q+q^2+q^3+q^4)(1+aq+bq^2+cq^3+q^4)=1+q^2+q^4+q^6+q^8;[/math] если [math]a=-1; c=-1; =>b=1;[/math]
Есть подозрение, что она имеет общий характер.
[math](\sum_{n=0}^N q^n)(\sum_{n=0}^N (-q)^n)=[/math]?? [math]=\sum_{n=0}^N q^{2n}[/math], где [math]N=2^m;[/math]

Автор:  mad_math [ 17 окт 2013, 11:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

Может быть. Я в общем виде таких разложений не встречала, нужно у более опытных соучастников поинтересоваться.

Автор:  mad_math [ 17 окт 2013, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая прогрессия

Стоит отметить, что для [math]m=0[/math] это равенство не выполняется, так как [math](1+q)(1-q)=1-q^2\ne 1+q^2[/math]

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/