Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти корни показательного уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26584
Страница 2 из 2

Автор:  Alexander N [ 01 окт 2013, 09:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

Grom писал(а):
Помогите решить
Нашёл такую задачу Найдите сумму корней уравнения [math]5^{4x+1}+4*5^x=1[/math]
Как я решал: [math]5\cdot 5^{4x}+4\cdot 5^x=1[/math]
[math]5^x=t[/math]
Тогда [math]5t^4+4t-1=0[/math]Что делать дальше подскажите пожалуйста!

Можно использовать теорему Виета для полинома произвольной степени!
Итак [math]t^4+t\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=0;[/math]
Запишем теорему Виета для уравнения 4 степени [math](t-k1)(t-k2)(t-k3)(t-k4)=t^4+a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0=0[/math], где
[math]a_3=-(k1+k2+k3+k4); a_2=k1k2+k1k3+k1k4+k2k3+k2k4+k3k4; a_1=-(k1k2k3+k1k2k4+k1k3k4+k2k3k4); a_0=k1k2k3k4;[/math]
Откуда получаем
[math]a_3=0=k1+k2+k3+k4; a_0=k1k2k3k4;[/math]
Ценность теоремы Виета в общем случае состоит в том, что если мы нашли n-1 корней полинома n степени, то последний корень искать не надо, а просто можно его вычислить, как разность коэффициента [math]a_{n-1}[/math] и суммы n-1 корней.
Откуда получаем для исходной задачи
[math]5^{x1}+5^{x2}+5^{x3}+5^{x4}=0; 5^{x1}5^{x2}5^{x3}5^{x4}=-\frac{1}{5}=5^{x1+x2+x3+x4};[/math]
Отсюда получаем окончательно
[math]x1+x2+x3+x4=\frac{(2n+1)i\pi}{ln(5)}-1[/math]
что совпало с результатом andrei

Автор:  victor1111 [ 01 окт 2013, 12:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

victor1111 писал(а):
Alexander N писал(а):
Ну раз красивых корней нет, то тогда остается посоветовать Grom набраться терпения и в рукопашную искать вещественный положительный корень. Если же он знаком с методом Ньютона [math]x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math], то лучшего численного метода поиска корней полиномов просто не существует.

Позвольте только добавить, что сумма четырёх корней x1+x2+x3+x4 приблизительно равна 0.01.

Это не есть истина.

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/