Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Найти корни показательного уравнения
СообщениеДобавлено: 01 окт 2013, 09:29 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Grom писал(а):
Помогите решить
Нашёл такую задачу Найдите сумму корней уравнения [math]5^{4x+1}+4*5^x=1[/math]
Как я решал: [math]5\cdot 5^{4x}+4\cdot 5^x=1[/math]
[math]5^x=t[/math]
Тогда [math]5t^4+4t-1=0[/math]Что делать дальше подскажите пожалуйста!

Можно использовать теорему Виета для полинома произвольной степени!
Итак [math]t^4+t\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=0;[/math]
Запишем теорему Виета для уравнения 4 степени [math](t-k1)(t-k2)(t-k3)(t-k4)=t^4+a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0=0[/math], где
[math]a_3=-(k1+k2+k3+k4); a_2=k1k2+k1k3+k1k4+k2k3+k2k4+k3k4; a_1=-(k1k2k3+k1k2k4+k1k3k4+k2k3k4); a_0=k1k2k3k4;[/math]
Откуда получаем
[math]a_3=0=k1+k2+k3+k4; a_0=k1k2k3k4;[/math]
Ценность теоремы Виета в общем случае состоит в том, что если мы нашли n-1 корней полинома n степени, то последний корень искать не надо, а просто можно его вычислить, как разность коэффициента [math]a_{n-1}[/math] и суммы n-1 корней.
Откуда получаем для исходной задачи
[math]5^{x1}+5^{x2}+5^{x3}+5^{x4}=0; 5^{x1}5^{x2}5^{x3}5^{x4}=-\frac{1}{5}=5^{x1+x2+x3+x4};[/math]
Отсюда получаем окончательно
[math]x1+x2+x3+x4=\frac{(2n+1)i\pi}{ln(5)}-1[/math]
что совпало с результатом andrei

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
mad_math, victor1111
 Заголовок сообщения: Re: Найти корни показательного уравнения
СообщениеДобавлено: 01 окт 2013, 12:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
victor1111 писал(а):
Alexander N писал(а):
Ну раз красивых корней нет, то тогда остается посоветовать Grom набраться терпения и в рукопашную искать вещественный положительный корень. Если же он знаком с методом Ньютона [math]x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math], то лучшего численного метода поиска корней полиномов просто не существует.

Позвольте только добавить, что сумма четырёх корней x1+x2+x3+x4 приблизительно равна 0.01.

Это не есть истина.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
ОДЗ показательного уравнения

в форуме Алгебра

user16

2

249

23 апр 2017, 15:15

Решение показательного уравнения

в форуме Алгебра

hranitel6

2

267

13 ноя 2016, 14:04

Решение показательного уравнения

в форуме Алгебра

adtsvetkov

4

680

23 фев 2017, 23:36

Найти корни уравнения

в форуме Алгебра

GeorgeB

1

295

26 фев 2017, 22:21

Найти все корни уравнения

в форуме Алгебра

LeraGard

9

440

04 янв 2020, 10:22

Найти корни уравнения ω3 + Z = 0

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Rdt27

7

363

09 фев 2020, 13:51

Найти корни уравнения

в форуме Тригонометрия

Kolleydoscope

5

571

19 апр 2017, 20:54

Найти корни уравнения

в форуме Тригонометрия

Igor kupryniuk

10

845

15 июн 2020, 16:32

Найти все корни уравнения

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Galkina

1

500

01 дек 2015, 21:36

Найти корни уравнения

в форуме Теория чисел

AlexSam

10

977

04 окт 2015, 04:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved