| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти корни показательного уравнения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26584 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Grom [ 29 сен 2013, 18:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти корни показательного уравнения |
Помогите решить Нашёл такую задачу Найдите сумму корней уравнения [math]5^{4x+1}+4*5^x=1[/math] Как я решал: [math]5\cdot 5^{4x}+4\cdot 5^x=1[/math] [math]5^x=t[/math] Тогда [math]5t^4+4t-1=0[/math]Что делать дальше подскажите пожалуйста! |
|
| Автор: | mad_math [ 29 сен 2013, 19:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни уравнения |
Один из корней, очевидно, [math]t=-1[/math]. Разделите [math]5t^4+4t-1[/math] на [math]t+1[/math] столбиком. |
|
| Автор: | vorvalm [ 29 сен 2013, 19:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни уравнения |
Разложить на множители. Выделить множитель [math](t+1)[/math] [math](4t^4+4t)+(t^4-1)[/math] |
|
| Автор: | andrei [ 29 сен 2013, 20:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни показательного уравнения |
[math]5^{k_{1} }=t_{1} \quad 5^{k_{2} }=t_{2} \quad 5^{k_{3} }=t_{3} \quad 5^{k_{4} }=t_{4}[/math] [math]5^{k_{1} }5^{k_{2} }5^{k_{3} }5^{k_{4} }=-5^{-1}[/math] [math]k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}=\log_{5}{(-5^{-1}) } =\log_{5}{(-1)}-1 =\frac{ (2n+1) \pi i }{ \ln{5} } -1[/math] Наверное так |
|
| Автор: | Alexander N [ 29 сен 2013, 23:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни уравнения |
mad_math писал(а): Один из корней, очевидно, [math]t=-1[/math]. Разделите [math]5t^4+4t-1[/math] на [math]t+1[/math] столбиком. Получаем уравнение третьей степени [math]5t^3-5t^2+5t-1=0[/math] Здесь следует иметь в виду, что [math]t=5^x >0[/math], поэтому неплохо бы построить график и учесть, что нас интересуют только положительные корни. |
|
| Автор: | mad_math [ 29 сен 2013, 23:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни показательного уравнения |
Alexander N У меня также получилось. Правда у этого кубического уравнения "красивых" корней не получается. |
|
| Автор: | Alexander N [ 29 сен 2013, 23:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни показательного уравнения |
mad_math А может это и не играет роли, поскольку они могут быть нам и не нужны. |
|
| Автор: | mad_math [ 29 сен 2013, 23:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни показательного уравнения |
Один действительный положительный среди них есть и два комплексных (так говорит Вольфрам). |
|
| Автор: | Alexander N [ 30 сен 2013, 00:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни показательного уравнения |
Ну раз красивых корней нет, то тогда остается посоветовать Grom набраться терпения и в рукопашную искать вещественный положительный корень. Если же он знаком с методом Ньютона [math]x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math], то лучшего численного метода поиска корней полиномов просто не существует. |
|
| Автор: | victor1111 [ 30 сен 2013, 16:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти корни показательного уравнения |
Alexander N писал(а): Ну раз красивых корней нет, то тогда остается посоветовать Grom набраться терпения и в рукопашную искать вещественный положительный корень. Если же он знаком с методом Ньютона [math]x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math], то лучшего численного метода поиска корней полиномов просто не существует. Позвольте только добавить, что сумма четырёх корней x1+x2+x3+x4 приблизительно равна 0.01. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|