Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти корни показательного уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26584
Страница 1 из 2

Автор:  Grom [ 29 сен 2013, 18:18 ]
Заголовок сообщения:  Найти корни показательного уравнения

Помогите решить
Нашёл такую задачу Найдите сумму корней уравнения [math]5^{4x+1}+4*5^x=1[/math]
Как я решал: [math]5\cdot 5^{4x}+4\cdot 5^x=1[/math]
[math]5^x=t[/math]
Тогда [math]5t^4+4t-1=0[/math]Что делать дальше подскажите пожалуйста!

Автор:  mad_math [ 29 сен 2013, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни уравнения

Один из корней, очевидно, [math]t=-1[/math]. Разделите [math]5t^4+4t-1[/math] на [math]t+1[/math] столбиком.

Автор:  vorvalm [ 29 сен 2013, 19:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни уравнения

Разложить на множители. Выделить множитель [math](t+1)[/math]

[math](4t^4+4t)+(t^4-1)[/math]

Автор:  andrei [ 29 сен 2013, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

[math]5^{k_{1} }=t_{1} \quad 5^{k_{2} }=t_{2} \quad 5^{k_{3} }=t_{3} \quad 5^{k_{4} }=t_{4}[/math]
[math]5^{k_{1} }5^{k_{2} }5^{k_{3} }5^{k_{4} }=-5^{-1}[/math]
[math]k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}=\log_{5}{(-5^{-1}) } =\log_{5}{(-1)}-1 =\frac{ (2n+1) \pi i }{ \ln{5} } -1[/math]
Наверное так

Автор:  Alexander N [ 29 сен 2013, 23:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни уравнения

mad_math писал(а):
Один из корней, очевидно, [math]t=-1[/math]. Разделите [math]5t^4+4t-1[/math] на [math]t+1[/math] столбиком.

Получаем уравнение третьей степени [math]5t^3-5t^2+5t-1=0[/math]
Здесь следует иметь в виду, что [math]t=5^x >0[/math], поэтому неплохо бы построить график и учесть, что нас интересуют только положительные корни.

Автор:  mad_math [ 29 сен 2013, 23:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

Alexander N
У меня также получилось. Правда у этого кубического уравнения "красивых" корней не получается.

Автор:  Alexander N [ 29 сен 2013, 23:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

mad_math
А может это и не играет роли, поскольку они могут быть нам и не нужны.

Автор:  mad_math [ 29 сен 2013, 23:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

Один действительный положительный среди них есть и два комплексных (так говорит Вольфрам).

Автор:  Alexander N [ 30 сен 2013, 00:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

Ну раз красивых корней нет, то тогда остается посоветовать Grom набраться терпения и в рукопашную искать вещественный положительный корень. Если же он знаком с методом Ньютона [math]x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math], то лучшего численного метода поиска корней полиномов просто не существует.

Автор:  victor1111 [ 30 сен 2013, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти корни показательного уравнения

Alexander N писал(а):
Ну раз красивых корней нет, то тогда остается посоветовать Grom набраться терпения и в рукопашную искать вещественный положительный корень. Если же он знаком с методом Ньютона [math]x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math], то лучшего численного метода поиска корней полиномов просто не существует.

Позвольте только добавить, что сумма четырёх корней x1+x2+x3+x4 приблизительно равна 0.01.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/