| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнение 4-й степени с модулем http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26341 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | andrewkook1999366 [ 16 сен 2013, 16:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Уравнение 4-й степени с модулем |
Помогите пожалуйста!366 [math]x^4-7x^2+2x+2=|4x-1|-|2x^2-3|[/math] |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 16 сен 2013, 19:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
Подсказка: умножьте обе части уравнения на выражение сопряжённое правой части. |
|
| Автор: | Alexander N [ 17 сен 2013, 01:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений. 1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math] Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math] Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет! 3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math] Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math] Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math] Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для [math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math] Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math] Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math] Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений. ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 18 сен 2013, 13:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
Всегда нужно контролировать аналитику (интересно, что все пересечения находятся на оси OX):
|
|
| Автор: | victor1111 [ 18 сен 2013, 15:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
Alexander N писал(а): Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений. 1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math] Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math] Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет! 3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math] Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math] Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math] Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для [math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math] Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math] Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math] Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений. ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math] x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения. |
|
| Автор: | Avgust [ 18 сен 2013, 16:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
victor1111 писал(а): x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения. Вот именно. Я ждал: заметит ли кто-нибудь пропущенный корень?
|
|
| Автор: | pewpimkin [ 18 сен 2013, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
Выше ведь подсказывали
|
|
| Автор: | Alexander N [ 18 сен 2013, 22:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4-й степени с модулем |
Во втором случае я допустил описку - правильный вариант => 2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x+4=0[/math] Здесь подходит корень [math]x=1-\sqrt{2}[/math], который кстати тупо можно найти и методом Ньютона. PS. 1). Так что в принципе мое решение тоже правильное, хотя оно и тупое. Мое уважение Uncle Fedor и pewpimkin. 2). В принципе простой подбор корней весьма эффективен, если к подбору целочисленных значений добавить еще м подбор простых типовых радикалов. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|