Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение 4-й степени с модулем
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26341
Страница 1 из 1

Автор:  andrewkook1999366 [ 16 сен 2013, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение 4-й степени с модулем

Помогите пожалуйста!366

[math]x^4-7x^2+2x+2=|4x-1|-|2x^2-3|[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 16 сен 2013, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

Подсказка: умножьте обе части уравнения на выражение сопряжённое правой части.

Автор:  Alexander N [ 17 сен 2013, 01:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений.
1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math]
Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math]
Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет!
3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math]
Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math]
Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math]
Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для
[math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math]
Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math]
Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math]
Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений.
ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math]

Автор:  Avgust [ 18 сен 2013, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

Всегда нужно контролировать аналитику (интересно, что все пересечения находятся на оси OX):
Изображение

Автор:  victor1111 [ 18 сен 2013, 15:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

Alexander N писал(а):
Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений.
1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math]
Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math]
Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет!
3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math]
Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math]
Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math]
Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для
[math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math]
Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math]
Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math]
Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений.
ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math]

x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения.

Автор:  Avgust [ 18 сен 2013, 16:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

victor1111 писал(а):
x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения.

Вот именно. Я ждал: заметит ли кто-нибудь пропущенный корень? :)

Автор:  pewpimkin [ 18 сен 2013, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

Выше ведь подсказывали

Изображение

Автор:  Alexander N [ 18 сен 2013, 22:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4-й степени с модулем

Во втором случае я допустил описку - правильный вариант =>
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x+4=0[/math]
Здесь подходит корень [math]x=1-\sqrt{2}[/math], который кстати тупо можно найти и методом Ньютона.
PS. 1). Так что в принципе мое решение тоже правильное, хотя оно и тупое. Мое уважение Uncle Fedor и pewpimkin.
2). В принципе простой подбор корней весьма эффективен, если к подбору целочисленных значений добавить еще м подбор простых типовых радикалов.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/