Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Система неравенств
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26132
Страница 1 из 1

Автор:  Sam909 [ 04 сен 2013, 16:08 ]
Заголовок сообщения:  Система неравенств

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить данную систему неравенств:

Вложения:
CodeCogsEqn.gif
CodeCogsEqn.gif [ 1.06 Кб | Просмотров: 500 ]
CodeCogsEqn (1).gif
CodeCogsEqn (1).gif [ 955 байт | Просмотров: 484 ]

Автор:  Sam909 [ 04 сен 2013, 16:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств

Вот мой вариант решения:
Изображение
Изображение
Получаются два неравенства
Изображение Тут всё понятно, получается x<2
Что с этим делать я не соображу что-то
Изображение

А со вторым совсем беда, как решить его ума не приложу

Автор:  radix [ 04 сен 2013, 19:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств

Sam909 писал(а):
Что с этим делать я не соображу что-то
Изображение

Может, представить как
[math]\frac{ 25 \cdot 2 }{ 2^{x} } \geqslant 1[/math]

Автор:  Sviatoslav [ 04 сен 2013, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств

Посмотрим, что со вторым неравенством.
Перед нами логарифм, а значит, сразу же нужно выписать его ОДЗ:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 6 - x > 0 \\ & 6 - x \ne 1 \\ & \frac{{{x^4}}}{{{x^2}- 12x + 36}}> 0 \end{aligned}\right.[/math]

Раз основание логарифма содержит неизвестную, нам необходимо рассмотреть два случая: когда основание содержится в интервале [math]\left({0;1}\right)[/math] и когда оно строго больше [math]1[/math].
Пусть [math]6 - x \in \left({0;1}\right)[/math], тогда [math]x \in (5;6)[/math] и знак неравенства поменяется, то есть

[math]\frac{{{x^4}}}{{{x^2}- 12x + 36}}\geqslant 1[/math]

[math]\frac{{{x^4}}}{{{{(x - 6)}^2}}}- 1 \geqslant 0[/math]

[math]\frac{{{x^4}-{{(x - 6)}^2}}}{{{{(x - 6)}^2}}}\geqslant 0[/math]

[math]\frac{{\left({{x^2}- x + 6}\right)\left({{x^2}+ x - 6}\right)}}{{{{(x - 6)}^2}}}\geqslant 0[/math]

Решив неравенство, получается: [math]x \in ( - \infty ; - 3] \cup [2;6) \cup (6; + \infty )[/math]. Однако, учитывая ОДЗ и специфику этого случая (мы ведь предположили, что [math]x \in (5;6)[/math]), получаем, что ответ этого случая [math]x \in (5;6)[/math].
Теперь самостоятельно проделайте это же, предположив, что основание логарифма больше единицы (знак неравенства не изменится).

Автор:  pewpimkin [ 05 сен 2013, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств

Изображение

Изображение

Если не ошибся, то так.

Автор:  Sam909 [ 06 сен 2013, 16:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств

Спасибо всем большое за то, что уделили время и внимание моей проблеме! Все решения очень понятны и доступны, теперь то я буду знать как решать подобные системы. Спасибо ещё раз :)

Автор:  pewpimkin [ 06 сен 2013, 16:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств

Про метод решения логарифмического неравенства почитайте "Метод рационализации" или "Метод эквивалентностей"

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/