Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Деление разности квадратов на 3
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26014
Страница 2 из 2

Автор:  Sonic [ 22 авг 2013, 18:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

afraumar писал(а):
Добрый день!
Докажите, что если каждое из целых чисел m и n не кратно 3, то число [math]m^{2}-n^{2}[/math] делится на 3.
у меня получается следующее:
[math]m=3k+q_{1}[/math]
[math]n=3z+q_{2}[/math]
тогда [math]m^{2}-n^{2}=9k^{2}+6kq_{1}+q_{1}^{2}-9z^{2}-6zq_{2}-q_{2}^{2}[/math]
из этого очевидно, что все слагаемые делятся на 3 кроме обоих q. как быть с ними?
Спасибо!
Можете считать [math]q_j[/math] остатками, т.е. [math]0\leqslant q_j<3[/math] - число их конечно и перебрать всевозможные знечения.
Можно также воспользоваться малой теоремой Ферма для [math]p=3[/math]

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2013, 18:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

ПСВ - приведенная система вычетов по какому-либо модулю.
У Бухштаба есть глава "Полная и приведенная системы вычетов".
Я думаю, что вы разберетесь сами. Это не сложно. Заодно познакомитесь
с теоремами Ферма и Эйлера. Это намного упростит решение сравнений.

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2013, 19:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

Sonic писал(а):
afraumar писал(а):
Добрый день!
Докажите, что если каждое из целых чисел m и n не кратно 3, то число [math]m^{2}-n^{2}[/math] делится на 3.
у меня получается следующее:
[math]m=3k+q_{1}[/math]
[math]n=3z+q_{2}[/math]
тогда [math]m^{2}-n^{2}=9k^{2}+6kq_{1}+q_{1}^{2}-9z^{2}-6zq_{2}-q_{2}^{2}[/math]
из этого очевидно, что все слагаемые делятся на 3 кроме обоих q. как быть с ними?
Спасибо!
Можете считать [math]q_j[/math] остатками, т.е. [math]0\leqslant q_j<3[/math] - число их конечно и перебрать всевозможные знечения.
Можно также воспользоваться малой теоремой Ферма для [math]p=3[/math]

В данном случае [math]q_j[/math] не может быть равен 0 по условию задачи.

Автор:  afraumar [ 22 авг 2013, 19:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

vorvalm писал(а):
ПСВ - приведенная система вычетов по какому-либо модулю.
У Бухштаба есть глава "Полная и приведенная системы вычетов".
Я думаю, что вы разберетесь сами. Это не сложно. Заодно познакомитесь
с теоремами Ферма и Эйлера. Это намного упростит решение сравнений.


да да! Спасибо! завтра буду разбираться с этими теоремами у Бухштаба (Ферма уже знаю немного). так что будут завтра вопросы :blush:

Автор:  Sonic [ 22 авг 2013, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

vorvalm писал(а):
В данном случае [math]q_j[/math] не может быть равен 0 по условию задачи.
А, ну да. Значит еще меньше вариантов будет.

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/