Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Деление разности квадратов на 3
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=26014
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 22 авг 2013, 15:23 ]
Заголовок сообщения:  Деление разности квадратов на 3

Добрый день!
Докажите, что если каждое из целых чисел m и n не кратно 3, то число [math]m^{2}-n^{2}[/math] делится на 3.
у меня получается следующее:
[math]m=3k+q_{1}[/math]
[math]n=3z+q_{2}[/math]
тогда [math]m^{2}-n^{2}=9k^{2}+6kq_{1}+q_{1}^{2}-9z^{2}-6zq_{2}-q_{2}^{2}[/math]
из этого очевидно, что все слагаемые делятся на 3 кроме обоих q. как быть с ними?
Спасибо!

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2013, 15:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

Вы усложняете себе работу. Зачем надо прибавлять [math]q_1;\;q_2[/math].
Возьмите просто 1.

Автор:  afraumar [ 22 авг 2013, 16:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

vorvalm писал(а):
Вы усложняете себе работу. Зачем надо прибавлять [math]q_1;\;q_2[/math].
Возьмите просто 1.

простите, не поняла, почему? мы же не знаем, какие могут быть остатки по условию - сказано, что просто остатки (вдруг один равен 8, а другой 2 или еще какие-то варианты, мы же не знаем). почему можно просто поставить 1?

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2013, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

Вы что-то зациклились на остатках. Здесь не нужны остатки.
Просто, если прибавить 1 к числам, кратным 3, то они уже не будут кратны 3 и все.

Автор:  Talanov [ 22 авг 2013, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

afraumar писал(а):
тогда [math]m^{2}-n^{2}=9k^{2}+6kq_{1}+q_{1}^{2}-9z^{2}-6zq_{2}-q_{2}^{2}[/math]
из этого очевидно, что все слагаемые делятся на 3 кроме обоих q. как быть с ними?

Возможны два случая:
1. [math]q_1=q_2=1[/math] или [math]2[/math], тогда [math]q_2^2-q_1^2=0.[/math]
2. [math]q_1=1, q_2=2[/math], тогда [math]q_2^2-q_1^2=3.[/math]

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2013, 17:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

Вообще-то [math]q_1;\;q_2[/math] могут быть любыми вычетами ПСВ по модулю 3, но 1 лучше всех!

Автор:  Talanov [ 22 авг 2013, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

vorvalm писал(а):
Вы что-то зациклились на остатках. Здесь не нужны остатки.
Просто, если прибавить 1 к числам, кратным 3, то они уже не будут кратны 3 и все.

Если прибавить 2 к числам, кратным 3, то они тоже не будут кратны 3. Поэтому также надо доказывать и этот случай.

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2013, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

Повторяю:
vorvalm писал(а):
Вообще-то [math]q_1;\;q_2[/math] могут быть любыми вычетами ПСВ по модулю 3, но 1 лучше всех!

Вычетами ПСВ по модулю 3 могут быть: [math]1,2;\;4,5;\;7,8;\;...[/math] и т.д.

Автор:  radix [ 22 авг 2013, 18:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

afraumar писал(а):
вдруг один равен 8, а другой 2 или еще какие-то варианты

Остаток не может превышать делитель. Поэтому 8 остатком при делении на 3 быть не может.

Автор:  afraumar [ 22 авг 2013, 18:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление разности квадратов на 3

vorvalm писал(а):
Повторяю:
vorvalm писал(а):
Вообще-то [math]q_1;\;q_2[/math] могут быть любыми вычетами ПСВ по модулю 3, но 1 лучше всех!

Вычетами ПСВ по модулю 3 могут быть: [math]1,2;\;4,5;\;7,8;\;...[/math] и т.д.


скажите, пожалуйста, что такое ПСВ?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/