Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

При некоторых x и y значение дроби является целым числом
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25992
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 20 авг 2013, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  При некоторых x и y значение дроби является целым числом

Добрый день!
Пытаюсь повторить целые числа - картина печальная. Надеюсь на помощь (как всегда).
Задание. Известно, что при некоторых x и y значение дроби [math]\frac{2x-3y }{ y }[/math]является целым числом. Верно ли, что при тех же x и y целым числом является выражение [math]\frac{5x+16y }{ y }[/math]?

Я попыталась выразить x и y. Например, [math]2x-3y=0 \Rightarrow x=\frac{ 3 }{ 2 } y[/math]
подставила во второе выражение и получила [math]5y+\frac{ 16*3 }{ 2 } y=29y[/math], делим на y и получается 29 - целое число.
Но когда пытаюсь тоже самое сделать с x, то конечно ничего не получилось.
Как правильно решать подобные выражения?

Спасибо Вам всем! Даже не представляете как я вам благодарна!

Автор:  Sonic [ 20 авг 2013, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: При некоторых x и y значение дроби является целым числом

Не надо выражать [math]x,y[/math] (их и выразить-то нельзя).
Сначала упростите дробь, т.е. сделайте так, чтобы стало меньше буковок. Дальше будет проще.

Автор:  Avgust [ 20 авг 2013, 21:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: При некоторых x и y значение дроби является целым числом

Я бы так решал:

[math]\frac{2x-3y}{y}=\frac{2x}{y}-3[/math]

Ясно, что первое слагаемое должно быть целым числом. Поэтому нужно решить диофантово уравнение:

[math]2x=ny[/math]

Решением будет:

[math]n=\frac 12 Z_1 \, ; \quad x=\frac{1}{4}Z_1 \cdot Z_2\, ; \quad y=Z_2[/math]

Получим в итоге: [math]Z_1=2n \, ; \quad x=\frac{n Z_2}{2} \, ; \quad y=Z_2[/math]

Итак, задаемся любыми целыми [math]n[/math] и [math]Z_2[/math] , находим значения [math]x[/math] и [math]y[/math], при которых дробь

[math]\frac{2x-3y}{y}[/math] всегда будет целой.

Например: [math]n=5 \, ; \, Z_2=3[/math]

По формулам находим

[math]x=\frac{5\cdot 3}{2}=\frac{15}{2}[/math]

[math]y=3[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/