| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25961 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | afraumar [ 15 авг 2013, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
Добрый день! Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число. Сама не решила и нашла такое решение, но не понимаю: Предположим, что число n - составное, т.е. n=k*m, где 1 < k < n. Тогда (n-1)! делится на k (ПОЧЕМУ ТОГДА ДЕЛИТСЯ НА К??. Следовательно, (n-1)!+1 не делится на k, а поэтому (n-1)!+1 не делится на n (ПОЧЕМУ ЕСЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ НА N, ТО НЕ ДЕЛИТСЯ НА К?), что противоречит условию. Таким образом, n не может быть составным, т.е. оно - простое. Спасибо! |
|
| Автор: | i-sm [ 15 авг 2013, 19:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
afraumar писал(а): Тогда (n-1)! делится на k (ПОЧЕМУ ТОГДА ДЕЛИТСЯ НА К??. В (n-1)! присутствуют все множители от 1 до n-1 включительно. 1<k<n. Значит, k где-то там ![]() afraumar писал(а): (ПОЧЕМУ ЕСЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ НА N, ТО НЕ ДЕЛИТСЯ НА К?) Наоборот! Не делится на k , значит не делится на n. Это следует из n=km. |
|
| Автор: | vorvalm [ 15 авг 2013, 19:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
afraumar писал(а): Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число. Это теорема Вильсона (А.А.Бухштаб,стр.132) |
|
| Автор: | Sonic [ 15 авг 2013, 20:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
vorvalm писал(а): afraumar писал(а): Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число. Это теорема Вильсона (А.А.Бухштаб,стр.132) |
|
| Автор: | i-sm [ 16 авг 2013, 17:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
1) Единственное четное простое число - это 2. Так как p -простое и больше 3, то оно нечетное. |
|
| Автор: | Sonic [ 16 авг 2013, 17:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
afraumar писал(а): Как читается и что значит эта запись f(x) В смысле Вы хотите спросить, что она вообще значит? ![]() Мы просто рассматриваем многочлен [math](x-1)(x-2)...(x-(p-1))[/math] и обозначаем его [math]f(x)[/math], т.е. функция от [math]x[/math]. Каким образом автор на него наткнулся - другой вопрос, для доказательства это неважно. Вообще, следует привыкнуть, что в доказательствах не объясняют, что и из каких соображений рассматривают (только не надо это путать с выводами, все выводы должны быть объяснены). Просто потому, что к доказательству это не относится + это было бы сильно длинно. Вообще, там автор доказывает, что многочлены [math]x^{p-1}-1[/math] и [math](x-1)(x-2)...(x-(p-1))[/math] одинаковы по модулю [math]p[/math], из чего делает вывод, что их свободные члены равны (а это как раз и есть теорема Вильсона). Для доказательства одинаковости многочленов по модулю [math]p[/math] автор рассматривает их корни и степени. Корней всего [math]p-1[/math], множества корней многочленов совпадают, а степени не больше [math]p-1[/math], значит многочлены совпадают - идея такая, а точные рассуждения - смотрите в доказательстве. |
|
| Автор: | i-sm [ 16 авг 2013, 18:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
По приведенному доказательству, функция f(x) взята "с потолка" . Почему она именно такая, наверное, можно понять из рассуждений и теорем, помещенных в книге до этой теоремы.afraumar, откуда взят этот скан, из какого учебника? |
|
| Автор: | vorvalm [ 16 авг 2013, 18:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
afraumar Чтобы правильно понять теорему 153 из Бухштаба, надо по крайней мере просмотреть, что было сказано до этого. Ну хотя бы теоремы Ферма и Эйлера. |
|
| Автор: | Sonic [ 16 авг 2013, 19:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то |
i-sm писал(а): По приведенному доказательству, функция f(x) взята "с потолка" Да не берутся они с потолка. Просто рассуждения, приводящие к ним - это не доказательство, потому их не пишут (и так Бухштаб 400 стр содержит, хотите, чтобы автор объяснял все догадки (которые не записаны)?) . Почему она именно такая, наверное, можно понять из рассуждений и теорем, помещенных в книге до этой теоремы.afraumar, откуда взят этот скан, из какого учебника? Многочлен [math]x^{p-1}-1[/math], конечно, навеян малой теоремой Ферма. Второй многочлен построен по множеству корней первого. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|