Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25961
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 15 авг 2013, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

Добрый день!
Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.
Сама не решила и нашла такое решение, но не понимаю:
Предположим, что число n - составное, т.е. n=k*m, где 1 < k < n. Тогда (n-1)! делится на k (ПОЧЕМУ ТОГДА ДЕЛИТСЯ НА К??.
Следовательно, (n-1)!+1 не делится на k, а поэтому (n-1)!+1 не делится на n (ПОЧЕМУ ЕСЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ НА N, ТО НЕ ДЕЛИТСЯ НА К?), что противоречит условию.
Таким образом, n не может быть составным, т.е. оно - простое.

Спасибо!

Автор:  i-sm [ 15 авг 2013, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

afraumar писал(а):
Тогда (n-1)! делится на k (ПОЧЕМУ ТОГДА ДЕЛИТСЯ НА К??.

В (n-1)! присутствуют все множители от 1 до n-1 включительно. 1<k<n. Значит, k где-то там :wink:
afraumar писал(а):
(ПОЧЕМУ ЕСЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ НА N, ТО НЕ ДЕЛИТСЯ НА К?)

Наоборот! Не делится на k , значит не делится на n. Это следует из n=km.

Автор:  vorvalm [ 15 авг 2013, 19:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

afraumar писал(а):
Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.

Это теорема Вильсона (А.А.Бухштаб,стр.132)

Автор:  Sonic [ 15 авг 2013, 20:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

vorvalm писал(а):
afraumar писал(а):
Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.
Это теорема Вильсона (А.А.Бухштаб,стр.132)
Не совсем: теорема (критерий) Вильсона - она в обе стороны, а тут - только в одну.

Автор:  afraumar [ 16 авг 2013, 14:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

Добрый день!

Простите, пожалуйста, за глупые вопросы, но я не понимаю доказательство (вложенный файл). Буду очень благодарна, если объясните.
Мои вопросы:
1) почему если мы задаем, что p больше либо равно 3, то очевидно (в доказательстве стоит "т.е."), что p нечетно?

2) рассматривается свободный член сравнения, что это значит (я вижу, что он равен (p-1)!). Как читается и что значит эта запись f(x) и почему в ней мы от некоего числа х вычитаем последовательно 1, 2.... и p-1?

3) почему мы далее рассматриваем такое равенство [math]x^{p-1}-1 = f(x)*1+r(x)[/math]? почему из х в степени p-1 вычитаем 1 и это равно тому, что написано?
есть ссылка на доказательство теоремы 150, но там рассмотрен многочлен с коэффициентами. да и само доказательство я, конечно, не понимаю

Буду благодарна, если потратите 2 минуты, чтобы написать это другим, более понятным языком - если не сложно.
Спасибо




Изображение

Автор:  i-sm [ 16 авг 2013, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

1) Единственное четное простое число - это 2. Так как p -простое и больше 3, то оно нечетное.

Автор:  Sonic [ 16 авг 2013, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

afraumar писал(а):
Как читается и что значит эта запись f(x)
В смысле Вы хотите спросить, что она вообще значит? :shock:
Мы просто рассматриваем многочлен [math](x-1)(x-2)...(x-(p-1))[/math] и обозначаем его [math]f(x)[/math], т.е. функция от [math]x[/math]. Каким образом автор на него наткнулся - другой вопрос, для доказательства это неважно.
Вообще, следует привыкнуть, что в доказательствах не объясняют, что и из каких соображений рассматривают (только не надо это путать с выводами, все выводы должны быть объяснены). Просто потому, что к доказательству это не относится + это было бы сильно длинно.
Вообще, там автор доказывает, что многочлены [math]x^{p-1}-1[/math] и [math](x-1)(x-2)...(x-(p-1))[/math] одинаковы по модулю [math]p[/math], из чего делает вывод, что их свободные члены равны (а это как раз и есть теорема Вильсона). Для доказательства одинаковости многочленов по модулю [math]p[/math] автор рассматривает их корни и степени. Корней всего [math]p-1[/math], множества корней многочленов совпадают, а степени не больше [math]p-1[/math], значит многочлены совпадают - идея такая, а точные рассуждения - смотрите в доказательстве.

Автор:  i-sm [ 16 авг 2013, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

По приведенному доказательству, функция f(x) взята "с потолка" :D1 . Почему она именно такая, наверное, можно понять из рассуждений и теорем, помещенных в книге до этой теоремы.
afraumar, откуда взят этот скан, из какого учебника?

Автор:  vorvalm [ 16 авг 2013, 18:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

afraumar
Чтобы правильно понять теорему 153 из Бухштаба, надо по крайней мере
просмотреть, что было сказано до этого. Ну хотя бы теоремы Ферма и Эйлера.

Автор:  Sonic [ 16 авг 2013, 19:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то

i-sm писал(а):
По приведенному доказательству, функция f(x) взята "с потолка" :D1 . Почему она именно такая, наверное, можно понять из рассуждений и теорем, помещенных в книге до этой теоремы.
afraumar, откуда взят этот скан, из какого учебника?
Да не берутся они с потолка. Просто рассуждения, приводящие к ним - это не доказательство, потому их не пишут (и так Бухштаб 400 стр содержит, хотите, чтобы автор объяснял все догадки (которые не записаны)?)
Многочлен [math]x^{p-1}-1[/math], конечно, навеян малой теоремой Ферма. Второй многочлен построен по множеству корней первого.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/