Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25952
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 14 авг 2013, 20:16 ]
Заголовок сообщения:  Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

Добрый день!

Простите, что снова беспокою - но я близка к прозрению (многое по этой теме уже сама делаю).
Запуталась в цифрах.
Найдите остаток от деления
[math]6^{93} \times 8^{90}+50^{12} \times 90^{10}[/math] на 47
[math]50 \equiv 3[/math] (mod 47) [math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47)
[math]90 \equiv -4[/math] (mod 47) [math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47)

[math]2^{93} \times 3^{93} \times 2^{90} \times 4^{90} + 3^{12} \times 4^{10} = 3^{12} \times 4^{10} (2^{93} \times 3^{81} \times 2^{90} \times 4^{80} +1)[/math]
и дальше что-то все варианты неподходящие получаются ((
наверное, я не вижу какой-то простой ход

Что скажете?
Спасибо!

Автор:  i-sm [ 14 авг 2013, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

Нужно найти показатель степени, при которой получается число, дающее остаток 1 при делении на 47. А дальше уже от нее отталкиваться.

Автор:  i-sm [ 14 авг 2013, 21:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

afraumar, у Вас ответы есть? У меня 2 получилось.
По поводу моего предыдущего поста: можно без единицы обойтись. Единица нужна для другого вида задач.

Автор:  i-sm [ 15 авг 2013, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

С первым слагаемым красиво получается:
[math]6^{93} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot 6^{90} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot (6 \cdot 8)^{90}=6^{3} \cdot 48^{90}[/math] (1)
Поскольку [math]48 \equiv 1(mod47)[/math]
(1) [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math]
Со вторым пока не вижу короткого пути...

Автор:  afraumar [ 15 авг 2013, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

i-sm писал(а):
afraumar, у Вас ответы есть? У меня 2 получилось.
По поводу моего предыдущего поста: можно без единицы обойтись. Единица нужна для другого вида задач.

Добрый день!

еще нет - вчера уже не успела, только вернулась, сейчас буду продолжать. пока не смотрю Ваш пост ниже, чтобы еще раз попробовать самой - хотя вчера очень долго пыталась ( расстраиваюсь, конечно, что так туго идет (

Автор:  afraumar [ 15 авг 2013, 12:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

i-sm писал(а):
С первым слагаемым красиво получается:
[math]6^{93} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot 6^{90} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot (6 \cdot 8)^{90}=6^{3} \cdot 48^{90}[/math] (1)
Поскольку [math]48 \equiv 1(mod47)[/math]
(1) [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math]
Со вторым пока не вижу короткого пути...


да да, с 6 и 8 так получается. но только почему [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math], а не [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47)

а предложенные мною вариант со вторыми числами Вам не очень нравится? но можно же посмотреть такой вариант (правда, все равно не получается пока найти остаток):
[math]216 \equiv 28[/math] (mod 47)
[math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47)
[math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47)

тогда [math]28 \times 1+3^{12} \times 4^{10} = 4 \times (7 + 3^{12} \times 4^{9})[/math]

Автор:  afraumar [ 15 авг 2013, 12:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

а еще вот вариант
[math]6^{3}=4 \times 3^{2} \times 3 \times 2[/math]
[math]4 \times 3^{3} \times 2 +3^{12} \times 4^{10} = 4 \times 3^{3} \times (2+3^{9} \times 4^{9} ) =4 \times 3^{3} (2+12^{9} )[/math]

Автор:  i-sm [ 15 авг 2013, 13:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

afraumar писал(а):
да да, с 6 и 8 так получается. но только почему [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math], а не [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47)
Ваше решение тоже правильное!

afraumar писал(а):
а предложенные мною вариант со вторыми числами Вам не очень нравится? но можно же посмотреть такой вариант (правда, все равно не получается пока найти остаток):
[math]216 \equiv 28[/math] (mod 47)
[math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47)
[math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47)

Думаю, это верное направление.
Тогда второе слагаемое [math]\equiv 3^{12} \cdot 4^{10}(mod 47)[/math] (2)
Далее можно это слагаемое тоже "подтянуть" к 48. Используем то, что [math]48=4^{2} \cdot 3[/math]
Тогда (2) [math]= 3^{7} \cdot 3^{5} \cdot 16^{5}=3^{7} \cdot 48^{5}[/math]
Теперь от второго слагаемого осталось только [math]3^{7}[/math]
[math]3^{7} \equiv -22 \equiv 25(mod47)[/math]
тогда исходный пример: [math]\equiv 28+25 \equiv 53 \equiv 6 (mod 47)[/math]
По-моему, так. Но перепроверьте, возможны ошибки.
P.S. Первый-то ответ у меня был неправильный :cry:

Автор:  afraumar [ 15 авг 2013, 13:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

i-sm писал(а):
afraumar писал(а):
да да, с 6 и 8 так получается. но только почему [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math], а не [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47)
Ваше решение тоже правильное!

afraumar писал(а):
а предложенные мною вариант со вторыми числами Вам не очень нравится? но можно же посмотреть такой вариант (правда, все равно не получается пока найти остаток):
[math]216 \equiv 28[/math] (mod 47)
[math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47)
[math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47)

Думаю, это верное направление.
Тогда второе слагаемое [math]\equiv 3^{12} \cdot 4^{10}(mod 47)[/math] (2)
Далее можно это слагаемое тоже "подтянуть" к 48. Используем то, что [math]48=4^{2} \cdot 3[/math]
Тогда (2) [math]= 3^{7} \cdot 3^{5} \cdot 16^{5}=3^{7} \cdot 48^{5}[/math]
Теперь от второго слагаемого осталось только [math]3^{7}[/math]
[math]3^{7} \equiv -22 \equiv 25(mod47)[/math]
тогда исходный пример: [math]\equiv 28+25 \equiv 53 \equiv 6 (mod 47)[/math]
По-моему, так. Но перепроверьте, возможны ошибки.
P.S. Первый-то ответ у меня был неправильный :cry:


спасибо, но я не очень поняла как из 3 в 7ой степени получилось сравнение с -22 ?

Автор:  i-sm [ 15 авг 2013, 15:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

Это можно чисто арифметически посчитать:
[math]3^{7}=2187=46 \cdot 47+25=47 \cdot 47-22[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/