Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| afraumar |
|
|
|
Простите, что снова беспокою - но я близка к прозрению (многое по этой теме уже сама делаю). Запуталась в цифрах. Найдите остаток от деления [math]6^{93} \times 8^{90}+50^{12} \times 90^{10}[/math] на 47 [math]50 \equiv 3[/math] (mod 47) [math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47) [math]90 \equiv -4[/math] (mod 47) [math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47) [math]2^{93} \times 3^{93} \times 2^{90} \times 4^{90} + 3^{12} \times 4^{10} = 3^{12} \times 4^{10} (2^{93} \times 3^{81} \times 2^{90} \times 4^{80} +1)[/math] и дальше что-то все варианты неподходящие получаются (( наверное, я не вижу какой-то простой ход Что скажете? Спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
Нужно найти показатель степени, при которой получается число, дающее остаток 1 при делении на 47. А дальше уже от нее отталкиваться.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
afraumar, у Вас ответы есть? У меня 2 получилось.
По поводу моего предыдущего поста: можно без единицы обойтись. Единица нужна для другого вида задач. |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
С первым слагаемым красиво получается:
[math]6^{93} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot 6^{90} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot (6 \cdot 8)^{90}=6^{3} \cdot 48^{90}[/math] (1) Поскольку [math]48 \equiv 1(mod47)[/math] (1) [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math] Со вторым пока не вижу короткого пути... |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: afraumar |
||
| afraumar |
|
|
|
i-sm писал(а): afraumar, у Вас ответы есть? У меня 2 получилось. По поводу моего предыдущего поста: можно без единицы обойтись. Единица нужна для другого вида задач. Добрый день! еще нет - вчера уже не успела, только вернулась, сейчас буду продолжать. пока не смотрю Ваш пост ниже, чтобы еще раз попробовать самой - хотя вчера очень долго пыталась ( расстраиваюсь, конечно, что так туго идет ( |
||
| Вернуться к началу | ||
| afraumar |
|
|
|
i-sm писал(а): С первым слагаемым красиво получается: [math]6^{93} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot 6^{90} \cdot 8^{90}=6^{3} \cdot (6 \cdot 8)^{90}=6^{3} \cdot 48^{90}[/math] (1) Поскольку [math]48 \equiv 1(mod47)[/math] (1) [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math] Со вторым пока не вижу короткого пути... да да, с 6 и 8 так получается. но только почему [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math], а не [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47) а предложенные мною вариант со вторыми числами Вам не очень нравится? но можно же посмотреть такой вариант (правда, все равно не получается пока найти остаток): [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47) [math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47) [math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47) тогда [math]28 \times 1+3^{12} \times 4^{10} = 4 \times (7 + 3^{12} \times 4^{9})[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| afraumar |
|
|
|
а еще вот вариант
[math]6^{3}=4 \times 3^{2} \times 3 \times 2[/math] [math]4 \times 3^{3} \times 2 +3^{12} \times 4^{10} = 4 \times 3^{3} \times (2+3^{9} \times 4^{9} ) =4 \times 3^{3} (2+12^{9} )[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
afraumar писал(а): да да, с 6 и 8 так получается. но только почему [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math], а не [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47) Ваше решение тоже правильное!afraumar писал(а): а предложенные мною вариант со вторыми числами Вам не очень нравится? но можно же посмотреть такой вариант (правда, все равно не получается пока найти остаток): [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47) [math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47) [math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47) Думаю, это верное направление. Тогда второе слагаемое [math]\equiv 3^{12} \cdot 4^{10}(mod 47)[/math] (2) Далее можно это слагаемое тоже "подтянуть" к 48. Используем то, что [math]48=4^{2} \cdot 3[/math] Тогда (2) [math]= 3^{7} \cdot 3^{5} \cdot 16^{5}=3^{7} \cdot 48^{5}[/math] Теперь от второго слагаемого осталось только [math]3^{7}[/math] [math]3^{7} \equiv -22 \equiv 25(mod47)[/math] тогда исходный пример: [math]\equiv 28+25 \equiv 53 \equiv 6 (mod 47)[/math] По-моему, так. Но перепроверьте, возможны ошибки. P.S. Первый-то ответ у меня был неправильный ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: afraumar |
||
| afraumar |
|
|
|
i-sm писал(а): afraumar писал(а): да да, с 6 и 8 так получается. но только почему [math]\equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv -19(mod 47)[/math], а не [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47) Ваше решение тоже правильное!afraumar писал(а): а предложенные мною вариант со вторыми числами Вам не очень нравится? но можно же посмотреть такой вариант (правда, все равно не получается пока найти остаток): [math]216 \equiv 28[/math] (mod 47) [math]50^{12} \equiv 3^{12}[/math] (mod 47) [math]90^{10} \equiv (-4)^{10}[/math] (mod 47) Думаю, это верное направление. Тогда второе слагаемое [math]\equiv 3^{12} \cdot 4^{10}(mod 47)[/math] (2) Далее можно это слагаемое тоже "подтянуть" к 48. Используем то, что [math]48=4^{2} \cdot 3[/math] Тогда (2) [math]= 3^{7} \cdot 3^{5} \cdot 16^{5}=3^{7} \cdot 48^{5}[/math] Теперь от второго слагаемого осталось только [math]3^{7}[/math] [math]3^{7} \equiv -22 \equiv 25(mod47)[/math] тогда исходный пример: [math]\equiv 28+25 \equiv 53 \equiv 6 (mod 47)[/math] По-моему, так. Но перепроверьте, возможны ошибки. P.S. Первый-то ответ у меня был неправильный ![]() спасибо, но я не очень поняла как из 3 в 7ой степени получилось сравнение с -22 ? |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
Это можно чисто арифметически посчитать:
[math]3^{7}=2187=46 \cdot 47+25=47 \cdot 47-22[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: afraumar |
||
|
[ Сообщений: 10 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
7 |
1518 |
25 июн 2017, 02:16 |
|
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
17 |
742 |
29 сен 2022, 13:50 |
|
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
2 |
827 |
16 янв 2015, 20:46 |
|
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
4 |
952 |
20 янв 2015, 22:15 |
|
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
6 |
962 |
04 апр 2018, 18:27 |
|
|
Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67
в форуме Теория чисел |
7 |
1378 |
11 ноя 2017, 12:00 |
|
|
Найти остаток от деления числа 11^65, m=80
в форуме Теория чисел |
2 |
143 |
18 апр 2024, 16:49 |
|
|
Теория чисел, найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
1 |
498 |
06 дек 2016, 22:40 |
|
|
Теория Чисел (Найти остаток от деления)
в форуме Теория чисел |
9 |
1168 |
12 янв 2015, 19:43 |
|
|
Найти остаток от деления числа в степени
в форуме Теория чисел |
32 |
23570 |
15 дек 2014, 20:15 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |