| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать - произведение последовательно натуральных чисел http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25925 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | afraumar [ 09 авг 2013, 19:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
Добрый день! Пожалуйста, посмотрите: Доказать, что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа. Не пойму, почему у меня не получается - я что-то не замечаю, но что? a(a+1)(a+2)(a+3)+1 Если раскрыть скобки, то получается что-то, из чего квадрат вообще не виден [math]a^{4} +6a^{3}+11a^{2}+6a+1[/math] Что неверно? Спасибо! |
|
| Автор: | andrei [ 09 авг 2013, 19:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 09 авг 2013, 19:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
Справедливо тождество: [math]a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2[/math] И левая часть равенства и правая равны тому, что Вы написали в виде полинома четвертой степени. Решить можно методом Феррари, но я легко нашел подбором. |
|
| Автор: | afraumar [ 09 авг 2013, 19:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
andrei писал(а): [math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] andrei писал(а): [math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого? |
|
| Автор: | andrei [ 09 авг 2013, 19:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math] |
|
| Автор: | afraumar [ 09 авг 2013, 20:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
andrei писал(а): Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math] простите, пожалуйста, но правда не понимаю (формулу разности квадратов, конечно, знаю, но не вижу ее здесь). Пожалуйста, напишите чуть более подробно Спасибо! |
|
| Автор: | i-sm [ 09 авг 2013, 20:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
afraumar писал(а): andrei писал(а): [math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого? Подставьте [math]m=(a^{2}+3a+1)[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 10 авг 2013, 21:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
Я решал несколько по-иному. Вы получили полином: [math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math] Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений: [math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math] Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим: [math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math] Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений: [math]Z+X=6[/math] [math]W+XZ+Y=11[/math] [math]XW+YZ=6[/math] [math]YW=1[/math] Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта: 1) [math]Y=W=1[/math] 2) [math]Y=W=-1[/math] Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math] Подставим эти значения в первые три уравнения: [math]X+Z=6[/math] [math]XZ=9[/math] [math]X+Z=6[/math] На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math] Подставим полученные данные в наше общее уравнение: [math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math] Что требовалось доказать. |
|
| Автор: | afraumar [ 11 авг 2013, 13:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
Andrei i I-sm, спасибо, особенно за терпение! Но я все равно не понимаю - у нас есть еще +1. Смотрите, [math](a^{2}+3a+1)^{2}+1[/math], а в задании сказано, что если прибавить к этому числу 1, то получится квадрат числа, а у нас без +1 получается квадрат числа. Что я неправильно понимаю? Спасибо! |
|
| Автор: | afraumar [ 11 авг 2013, 13:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел |
Avgust писал(а): Я решал несколько по-иному. Вы получили полином: [math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math] Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений: [math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math] Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим: [math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math] Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений: [math]Z+X=6[/math] [math]W+XZ+Y=11[/math] [math]XW+YZ=6[/math] [math]YW=1[/math] Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта: 1) [math]Y=W=1[/math] 2) [math]Y=W=-1[/math] Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math] Подставим эти значения в первые три уравнения: [math]X+Z=6[/math] [math]XZ=9[/math] [math]X+Z=6[/math] На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math] Подставим полученные данные в наше общее уравнение: [math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math] Что требовалось доказать. Класс!!! Спасибо! Поищу еще примеры с полиномами, чтобы закрепить такой вариант - он долгий, правда, но интересный |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|