Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25925
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 09 авг 2013, 19:07 ]
Заголовок сообщения:  Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

Добрый день!
Пожалуйста, посмотрите:
Доказать, что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа.

Не пойму, почему у меня не получается - я что-то не замечаю, но что?
a(a+1)(a+2)(a+3)+1
Если раскрыть скобки, то получается что-то, из чего квадрат вообще не виден [math]a^{4} +6a^{3}+11a^{2}+6a+1[/math]

Что неверно?
Спасибо!

Автор:  andrei [ 09 авг 2013, 19:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]

Автор:  Avgust [ 09 авг 2013, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

Справедливо тождество:

[math]a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2[/math]

И левая часть равенства и правая равны тому, что Вы написали в виде полинома четвертой степени.

Решить можно методом Феррари, но я легко нашел подбором.

Автор:  afraumar [ 09 авг 2013, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

andrei писал(а):
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]

andrei писал(а):
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]


спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого?

Автор:  andrei [ 09 авг 2013, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math]

Автор:  afraumar [ 09 авг 2013, 20:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

andrei писал(а):
Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math]

простите, пожалуйста, но правда не понимаю (формулу разности квадратов, конечно, знаю, но не вижу ее здесь). Пожалуйста, напишите чуть более подробно
Спасибо!

Автор:  i-sm [ 09 авг 2013, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

afraumar писал(а):
andrei писал(а):
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]

спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого?

Подставьте
[math]m=(a^{2}+3a+1)[/math]

Автор:  Avgust [ 10 авг 2013, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

Я решал несколько по-иному. Вы получили полином:

[math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math]

Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений:

[math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math]

Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим:

[math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math]

Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений:

[math]Z+X=6[/math]

[math]W+XZ+Y=11[/math]

[math]XW+YZ=6[/math]

[math]YW=1[/math]

Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта:
1) [math]Y=W=1[/math]
2) [math]Y=W=-1[/math]

Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math]
Подставим эти значения в первые три уравнения:

[math]X+Z=6[/math]

[math]XZ=9[/math]

[math]X+Z=6[/math]

На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math]

Подставим полученные данные в наше общее уравнение:

[math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math]

Что требовалось доказать.

Автор:  afraumar [ 11 авг 2013, 13:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

Andrei i I-sm, спасибо, особенно за терпение! Но я все равно не понимаю - у нас есть еще +1.
Смотрите, [math](a^{2}+3a+1)^{2}+1[/math], а в задании сказано, что если прибавить к этому числу 1, то получится квадрат числа, а у нас без +1 получается квадрат числа. Что я неправильно понимаю?
Спасибо!

Автор:  afraumar [ 11 авг 2013, 13:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел

Avgust писал(а):
Я решал несколько по-иному. Вы получили полином:

[math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math]

Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений:

[math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math]

Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим:

[math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math]

Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений:

[math]Z+X=6[/math]

[math]W+XZ+Y=11[/math]

[math]XW+YZ=6[/math]

[math]YW=1[/math]

Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта:
1) [math]Y=W=1[/math]
2) [math]Y=W=-1[/math]

Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math]
Подставим эти значения в первые три уравнения:

[math]X+Z=6[/math]

[math]XZ=9[/math]

[math]X+Z=6[/math]

На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math]

Подставим полученные данные в наше общее уравнение:

[math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math]

Что требовалось доказать.


Класс!!! Спасибо! Поищу еще примеры с полиномами, чтобы закрепить такой вариант - он долгий, правда, но интересный

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/