Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| afraumar |
|
|
|
Пожалуйста, посмотрите: Доказать, что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа. Не пойму, почему у меня не получается - я что-то не замечаю, но что? a(a+1)(a+2)(a+3)+1 Если раскрыть скобки, то получается что-то, из чего квадрат вообще не виден [math]a^{4} +6a^{3}+11a^{2}+6a+1[/math] Что неверно? Спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: Hagrael, i-sm |
||
| Avgust |
|
|
|
Справедливо тождество:
[math]a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2[/math] И левая часть равенства и правая равны тому, что Вы написали в виде полинома четвертой степени. Решить можно методом Феррари, но я легко нашел подбором. |
||
| Вернуться к началу | ||
| afraumar |
|
|
|
andrei писал(а): [math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] andrei писал(а): [math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого? |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: afraumar |
||
| afraumar |
|
|
|
andrei писал(а): Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math] простите, пожалуйста, но правда не понимаю (формулу разности квадратов, конечно, знаю, но не вижу ее здесь). Пожалуйста, напишите чуть более подробно Спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
afraumar писал(а): andrei писал(а): [math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math] [math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math] спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого? Подставьте [math]m=(a^{2}+3a+1)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: afraumar |
||
| Avgust |
|
|
|
Я решал несколько по-иному. Вы получили полином:
[math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math] Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений: [math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math] Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим: [math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math] Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений: [math]Z+X=6[/math] [math]W+XZ+Y=11[/math] [math]XW+YZ=6[/math] [math]YW=1[/math] Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта: 1) [math]Y=W=1[/math] 2) [math]Y=W=-1[/math] Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math] Подставим эти значения в первые три уравнения: [math]X+Z=6[/math] [math]XZ=9[/math] [math]X+Z=6[/math] На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math] Подставим полученные данные в наше общее уравнение: [math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math] Что требовалось доказать. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: afraumar, Hagrael |
||
| afraumar |
|
|
|
Andrei i I-sm, спасибо, особенно за терпение! Но я все равно не понимаю - у нас есть еще +1.
Смотрите, [math](a^{2}+3a+1)^{2}+1[/math], а в задании сказано, что если прибавить к этому числу 1, то получится квадрат числа, а у нас без +1 получается квадрат числа. Что я неправильно понимаю? Спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| afraumar |
|
|
|
Avgust писал(а): Я решал несколько по-иному. Вы получили полином: [math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math] Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений: [math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math] Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим: [math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math] Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений: [math]Z+X=6[/math] [math]W+XZ+Y=11[/math] [math]XW+YZ=6[/math] [math]YW=1[/math] Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта: 1) [math]Y=W=1[/math] 2) [math]Y=W=-1[/math] Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math] Подставим эти значения в первые три уравнения: [math]X+Z=6[/math] [math]XZ=9[/math] [math]X+Z=6[/math] На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math] Подставим полученные данные в наше общее уравнение: [math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math] Что требовалось доказать. Класс!!! Спасибо! Поищу еще примеры с полиномами, чтобы закрепить такой вариант - он долгий, правда, но интересный |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Доказать, что частое натуральных чисел является натуральным
в форуме Алгебра |
5 |
183 |
28 фев 2021, 15:17 |
|
|
Разбиения натуральных чисел
в форуме Теория чисел |
12 |
846 |
04 апр 2019, 17:23 |
|
|
Сумма натуральных чисел
в форуме Алгебра |
2 |
224 |
13 сен 2019, 10:13 |
|
| Сумма последовательных натуральных чисел | 8 |
1799 |
30 июн 2015, 19:06 |
|
|
Сумма всех натуральных чисел
в форуме Размышления по поводу и без |
85 |
1891 |
04 июн 2019, 20:29 |
|
| Об определении множества натуральных чисел | 8 |
457 |
13 дек 2017, 23:51 |
|
|
Сумма всех натуральных чисел
в форуме Ряды |
2 |
470 |
21 мар 2016, 18:35 |
|
| Сжатие множества натуральных чисел | 7 |
587 |
05 июн 2017, 20:38 |
|
|
Найти количество натуральных чисел
в форуме Теория чисел |
6 |
1152 |
16 янв 2015, 21:20 |
|
|
Найти все пары натуральных чисел
в форуме Алгебра |
3 |
752 |
19 янв 2018, 19:41 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |