| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать, что выражение делится на 30 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25914 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | afraumar [ 07 авг 2013, 20:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать, что выражение делится на 30 |
Добрый день! Пожалуйста, посмотрите следующее задание. Докажите, что при любых целых a и b произведение [math]a \times b(a^{2} -b^{2}) \times (4a^{2} -b^{2})[/math] делится на 30. Я решала следующим образом, но ... 30 раскладываем на множители 30 = 2*3*5 ab(a-b)(a+b)(2a-b)(2a+b) и далее следует доказать, что выражение делится на 2,3,5, верно? это задание в разделе, где рассказано про принцип Дирихле |
|
| Автор: | i-sm [ 07 авг 2013, 22:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 |
Нужно доказать, что среди сомножителей обязательно есть такой, который делится на 2 (на 3, на 5) Например, чтобы доказать, что есть делящийся на 2 множитель, достаточно рассмотреть все варианты четности/нечетности a и b. |
|
| Автор: | i-sm [ 08 авг 2013, 02:00 ] | ||||||||||||||||||||
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 | ||||||||||||||||||||
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь: viewtopic.php?p=137749#p137749 Теперь докажем делимость на 5. Запишем произведение так: [math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math] Расположим множители на числовой оси: b-2a___b-a___b___b+a___b+2a Обозначим c=b-2a c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело. |
|||||||||||||||||||||
| Автор: | afraumar [ 08 авг 2013, 16:49 ] | ||||||||||||||||||||
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 | ||||||||||||||||||||
i-sm писал(а): О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь: viewtopic.php?p=137749#p137749 Теперь докажем делимость на 5. Запишем произведение так: [math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math] Расположим множители на числовой оси: b-2a___b-a___b___b+a___b+2a Обозначим c=b-2a c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело. Спасибо, но я ничего не поняла и не поняла, зачем Вы поменяли местами слагаемые в скобках? и что значит mod? |
|||||||||||||||||||||
| Автор: | afraumar [ 08 авг 2013, 16:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 |
и мой вопрос, конечно, был про деление на 5 (про деление на 6 мы уже разбирали). спасибо! |
|
| Автор: | i-sm [ 08 авг 2013, 21:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 |
Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a). b-2a; b-a; b; b+a; b+2a Это делает задачу нагляднее, как мне кажется. Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5". Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз): Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ... Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ... ... |
|
| Автор: | afraumar [ 09 авг 2013, 12:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 |
i-sm писал(а): Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a). b-2a; b-a; b; b+a; b+2a Это делает задачу нагляднее, как мне кажется. Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5". Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз): Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ... Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ... ... спасибо за объяснение, но насколько я понимаю, так менять местами нельзя, даже если что-то выглядит нагляднее - ведь меняется математический смысл выражения, это уже другое выражение, разве нет? |
|
| Автор: | i-sm [ 09 авг 2013, 16:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 |
Если один множитель умножить на -1 и другой множитель умножить на -1, то произведение не изменится. |
|
| Автор: | afraumar [ 16 авг 2013, 16:04 ] | ||||||||||||||||||||
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 | ||||||||||||||||||||
i-sm писал(а): О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь: viewtopic.php?p=137749#p137749 Теперь докажем делимость на 5. Запишем произведение так: [math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math] Расположим множители на числовой оси: b-2a___b-a___b___b+a___b+2a Обозначим c=b-2a c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело. Добрый день! Немного разобравшись со сравнениями (благодаря этому Вашему посту, как Вы видели, посвятила какое-то время этому вопросу), возвращаюсь к этому посту. Очень нужна помощь 1) пожалуйста, объясните "Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело". с=b-2a. Вы рассмотрели остатки от деления a, 2a и так далее на 5, поэтому я не понимаю вывод (Ура! я хотя бы таблицу поняла! хоть и нано, но все же прогресс ). 2) точно должен быть еще какой-то способ доказательства делимости на 5 - без сравнений. |
|||||||||||||||||||||
| Автор: | afraumar [ 16 авг 2013, 16:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что выражение делится на 30 |
пожалуйста, подскажите еще подобные задачки с доказательством деления на число алгебраических выражений (то есть без цифр) - потренироваться и наконец-то понять, как это делать. и как эта тема называется? Спасибо!!! |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|