Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что выражение делится на 30
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25914
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 07 авг 2013, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что выражение делится на 30

Добрый день!
Пожалуйста, посмотрите следующее задание.
Докажите, что при любых целых a и b произведение [math]a \times b(a^{2} -b^{2}) \times (4a^{2} -b^{2})[/math] делится на 30.

Я решала следующим образом, но ...

30 раскладываем на множители 30 = 2*3*5
ab(a-b)(a+b)(2a-b)(2a+b)

и далее следует доказать, что выражение делится на 2,3,5, верно?
это задание в разделе, где рассказано про принцип Дирихле

Автор:  i-sm [ 07 авг 2013, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

Нужно доказать, что среди сомножителей обязательно есть такой, который делится на 2 (на 3, на 5)
Например, чтобы доказать, что есть делящийся на 2 множитель, достаточно рассмотреть все варианты четности/нечетности a и b.

Автор:  i-sm [ 08 авг 2013, 02:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749
Теперь докажем делимость на 5.
Запишем произведение так:
[math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math]
Расположим множители на числовой оси:
b-2a___b-a___b___b+a___b+2a
Обозначим c=b-2a
c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a
Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
a mod 51234
2a mod 52413
3a mod 53142
4a mod 54321

Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело.

Автор:  afraumar [ 08 авг 2013, 16:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

i-sm писал(а):
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749
Теперь докажем делимость на 5.
Запишем произведение так:
[math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math]
Расположим множители на числовой оси:
b-2a___b-a___b___b+a___b+2a
Обозначим c=b-2a
c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a
Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
a mod 51234
2a mod 52413
3a mod 53142
4a mod 54321

Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело.


Спасибо, но я ничего не поняла и не поняла, зачем Вы поменяли местами слагаемые в скобках? и что значит mod?

Автор:  afraumar [ 08 авг 2013, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

и мой вопрос, конечно, был про деление на 5 (про деление на 6 мы уже разбирали). спасибо!

Автор:  i-sm [ 08 авг 2013, 21:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a).
b-2a; b-a; b; b+a; b+2a
Это делает задачу нагляднее, как мне кажется.
Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5".
Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз):
Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ...
Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ...
...

Автор:  afraumar [ 09 авг 2013, 12:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

i-sm писал(а):
Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a).
b-2a; b-a; b; b+a; b+2a
Это делает задачу нагляднее, как мне кажется.
Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5".
Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз):
Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ...
Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ...
...

спасибо за объяснение, но насколько я понимаю, так менять местами нельзя, даже если что-то выглядит нагляднее - ведь меняется математический смысл выражения, это уже другое выражение, разве нет?

Автор:  i-sm [ 09 авг 2013, 16:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

Если один множитель умножить на -1 и другой множитель умножить на -1, то произведение не изменится.

Автор:  afraumar [ 16 авг 2013, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

i-sm писал(а):
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749
Теперь докажем делимость на 5.
Запишем произведение так:
[math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math]
Расположим множители на числовой оси:
b-2a___b-a___b___b+a___b+2a
Обозначим c=b-2a
c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a
Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
a mod 51234
2a mod 52413
3a mod 53142
4a mod 54321

Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело.


Добрый день!
Немного разобравшись со сравнениями (благодаря этому Вашему посту, как Вы видели, посвятила какое-то время этому вопросу), возвращаюсь к этому посту. Очень нужна помощь
1) пожалуйста, объясните "Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело". с=b-2a. Вы рассмотрели остатки от деления a, 2a и так далее на 5, поэтому я не понимаю вывод (Ура! я хотя бы таблицу поняла! хоть и нано, но все же прогресс о_О ).
2) точно должен быть еще какой-то способ доказательства делимости на 5 - без сравнений.

Автор:  afraumar [ 16 авг 2013, 16:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что выражение делится на 30

пожалуйста, подскажите еще подобные задачки с доказательством деления на число алгебраических выражений (то есть без цифр) - потренироваться и наконец-то понять, как это делать. и как эта тема называется?
Спасибо!!!

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/