Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 07 авг 2013, 20:39 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!
Пожалуйста, посмотрите следующее задание.
Докажите, что при любых целых a и b произведение [math]a \times b(a^{2} -b^{2}) \times (4a^{2} -b^{2})[/math] делится на 30.

Я решала следующим образом, но ...

30 раскладываем на множители 30 = 2*3*5
ab(a-b)(a+b)(2a-b)(2a+b)

и далее следует доказать, что выражение делится на 2,3,5, верно?
это задание в разделе, где рассказано про принцип Дирихле

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 07 авг 2013, 22:21 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно доказать, что среди сомножителей обязательно есть такой, который делится на 2 (на 3, на 5)
Например, чтобы доказать, что есть делящийся на 2 множитель, достаточно рассмотреть все варианты четности/нечетности a и b.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 08 авг 2013, 02:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749
Теперь докажем делимость на 5.
Запишем произведение так:
[math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math]
Расположим множители на числовой оси:
b-2a___b-a___b___b+a___b+2a
Обозначим c=b-2a
c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a
Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
a mod 51234
2a mod 52413
3a mod 53142
4a mod 54321

Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 08 авг 2013, 16:49 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
i-sm писал(а):
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749
Теперь докажем делимость на 5.
Запишем произведение так:
[math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math]
Расположим множители на числовой оси:
b-2a___b-a___b___b+a___b+2a
Обозначим c=b-2a
c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a
Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
a mod 51234
2a mod 52413
3a mod 53142
4a mod 54321

Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело.


Спасибо, но я ничего не поняла и не поняла, зачем Вы поменяли местами слагаемые в скобках? и что значит mod?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 08 авг 2013, 16:52 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
и мой вопрос, конечно, был про деление на 5 (про деление на 6 мы уже разбирали). спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 08 авг 2013, 21:02 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a).
b-2a; b-a; b; b+a; b+2a
Это делает задачу нагляднее, как мне кажется.
Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5".
Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз):
Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ...
Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ...
...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 12:31 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
i-sm писал(а):
Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a).
b-2a; b-a; b; b+a; b+2a
Это делает задачу нагляднее, как мне кажется.
Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5".
Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз):
Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ...
Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ...
...

спасибо за объяснение, но насколько я понимаю, так менять местами нельзя, даже если что-то выглядит нагляднее - ведь меняется математический смысл выражения, это уже другое выражение, разве нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 16:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если один множитель умножить на -1 и другой множитель умножить на -1, то произведение не изменится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 16:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
i-sm писал(а):
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749
Теперь докажем делимость на 5.
Запишем произведение так:
[math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math]
Расположим множители на числовой оси:
b-2a___b-a___b___b+a___b+2a
Обозначим c=b-2a
c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a
Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
a mod 51234
2a mod 52413
3a mod 53142
4a mod 54321

Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело.


Добрый день!
Немного разобравшись со сравнениями (благодаря этому Вашему посту, как Вы видели, посвятила какое-то время этому вопросу), возвращаюсь к этому посту. Очень нужна помощь
1) пожалуйста, объясните "Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело". с=b-2a. Вы рассмотрели остатки от деления a, 2a и так далее на 5, поэтому я не понимаю вывод (Ура! я хотя бы таблицу поняла! хоть и нано, но все же прогресс о_О ).
2) точно должен быть еще какой-то способ доказательства делимости на 5 - без сравнений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что выражение делится на 30
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 16:47 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
пожалуйста, подскажите еще подобные задачки с доказательством деления на число алгебраических выражений (то есть без цифр) - потренироваться и наконец-то понять, как это делать. и как эта тема называется?
Спасибо!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать по индукции, что выражение делится на 17

в форуме Алгебра

sfanter

1

528

18 июн 2016, 15:05

Выражение делится на а

в форуме Теория чисел

finnfer

10

1283

01 май 2018, 17:14

Доказать, что число не делится на 3

в форуме Алгебра

Ana_math

4

493

16 июл 2021, 21:13

Доказать, что каждое из следующих чисел делится на 6

в форуме Теория чисел

e7min

1

373

15 янв 2019, 23:06

Доказать выражение

в форуме Теория чисел

OnneR

3

349

01 дек 2023, 10:12

Доказать, что выражение больше нуля

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

phlegeton

4

433

23 ноя 2017, 19:38

Доказать рационально или иррационально выражение

в форуме Теория чисел

ALBPKLD

25

957

11 июн 2021, 15:42

Доказать что данное выражение является полным дифференциалом

в форуме Интегральное исчисление

Aleksey_N

1

2036

27 апр 2015, 20:41

Доказать, что выражение не может являться кубом целого числа

в форуме Алгебра

eserlik

3

368

26 июл 2017, 14:52

Почему b делится на a?

в форуме Алгебра

Feldhamster

3

240

19 май 2021, 14:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved