Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| afraumar |
|
|
|
Пожалуйста, посмотрите следующее задание. Докажите, что при любых целых a и b произведение [math]a \times b(a^{2} -b^{2}) \times (4a^{2} -b^{2})[/math] делится на 30. Я решала следующим образом, но ... 30 раскладываем на множители 30 = 2*3*5 ab(a-b)(a+b)(2a-b)(2a+b) и далее следует доказать, что выражение делится на 2,3,5, верно? это задание в разделе, где рассказано про принцип Дирихле |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
Нужно доказать, что среди сомножителей обязательно есть такой, который делится на 2 (на 3, на 5)
Например, чтобы доказать, что есть делящийся на 2 множитель, достаточно рассмотреть все варианты четности/нечетности a и b. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| i-sm |
|
||||||||||||||||||||
|
О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь:
viewtopic.php?p=137749#p137749 Теперь докажем делимость на 5. Запишем произведение так: [math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math] Расположим множители на числовой оси: b-2a___b-a___b___b+a___b+2a Обозначим c=b-2a c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело. |
|||||||||||||||||||||
| Вернуться к началу | |||||||||||||||||||||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: mad_math |
|||||||||||||||||||||
| afraumar |
|
||||||||||||||||||||
|
i-sm писал(а): О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь: viewtopic.php?p=137749#p137749 Теперь докажем делимость на 5. Запишем произведение так: [math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math] Расположим множители на числовой оси: b-2a___b-a___b___b+a___b+2a Обозначим c=b-2a c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело. Спасибо, но я ничего не поняла и не поняла, зачем Вы поменяли местами слагаемые в скобках? и что значит mod? |
|||||||||||||||||||||
| Вернуться к началу | |||||||||||||||||||||
| afraumar |
|
|
|
и мой вопрос, конечно, был про деление на 5 (про деление на 6 мы уже разбирали). спасибо!
|
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a).
b-2a; b-a; b; b+a; b+2a Это делает задачу нагляднее, как мне кажется. Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5". Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз): Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ... Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ... ... |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| afraumar |
|
|
|
i-sm писал(а): Если слагаемые в скобках поменять местами, то множители очень хорошо выстраиваются на числовой оси: это пять чисел, расположенные через равные промежутки (промежуток равен a). b-2a; b-a; b; b+a; b+2a Это делает задачу нагляднее, как мне кажется. Запись "a mod 5" означает "остаток от деления a на 5". Таблицу можно читать так (по колонке сверху вниз): Если а при делении на 5 дает остаток 1, то 2а дает остаток 2, 3а дает остаток 3, ... Если а при делении на 5 дает остаток 2, то 2а дает остаток 4, 3а дает остаток 1, ... ... спасибо за объяснение, но насколько я понимаю, так менять местами нельзя, даже если что-то выглядит нагляднее - ведь меняется математический смысл выражения, это уже другое выражение, разве нет? |
||
| Вернуться к началу | ||
| i-sm |
|
|
|
Если один множитель умножить на -1 и другой множитель умножить на -1, то произведение не изменится.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| afraumar |
|
||||||||||||||||||||
|
i-sm писал(а): О том, что [math]ab(a^{2}-b^{2})[/math] делится на 6 см. здесь: viewtopic.php?p=137749#p137749 Теперь докажем делимость на 5. Запишем произведение так: [math]ab(b+a)(b-a)(b+2a)(b-2a)[/math] Расположим множители на числовой оси: b-2a___b-a___b___b+a___b+2a Обозначим c=b-2a c___c+a___c+2a___c+3a___c+4a Рассмотрим остатки от деления a, 2a, ... на 5.
Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело. Добрый день! Немного разобравшись со сравнениями (благодаря этому Вашему посту, как Вы видели, посвятила какое-то время этому вопросу), возвращаюсь к этому посту. Очень нужна помощь 1) пожалуйста, объясните "Как видно из таблицы, какой бы остаток от деления на 5 ни имело бы слагаемое с, среди указанных пяти множителей найдется число, которое будет делиться на 5 нацело". с=b-2a. Вы рассмотрели остатки от деления a, 2a и так далее на 5, поэтому я не понимаю вывод (Ура! я хотя бы таблицу поняла! хоть и нано, но все же прогресс ). 2) точно должен быть еще какой-то способ доказательства делимости на 5 - без сравнений. |
|||||||||||||||||||||
| Вернуться к началу | |||||||||||||||||||||
| afraumar |
|
|
|
пожалуйста, подскажите еще подобные задачки с доказательством деления на число алгебраических выражений (то есть без цифр) - потренироваться и наконец-то понять, как это делать. и как эта тема называется?
Спасибо!!! |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Доказать по индукции, что выражение делится на 17
в форуме Алгебра |
1 |
528 |
18 июн 2016, 15:05 |
|
|
Выражение делится на а
в форуме Теория чисел |
10 |
1283 |
01 май 2018, 17:14 |
|
|
Доказать, что число не делится на 3
в форуме Алгебра |
4 |
493 |
16 июл 2021, 21:13 |
|
|
Доказать, что каждое из следующих чисел делится на 6
в форуме Теория чисел |
1 |
373 |
15 янв 2019, 23:06 |
|
|
Доказать выражение
в форуме Теория чисел |
3 |
349 |
01 дек 2023, 10:12 |
|
|
Доказать, что выражение больше нуля
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
433 |
23 ноя 2017, 19:38 |
|
|
Доказать рационально или иррационально выражение
в форуме Теория чисел |
25 |
956 |
11 июн 2021, 15:42 |
|
|
Доказать что данное выражение является полным дифференциалом
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
2035 |
27 апр 2015, 20:41 |
|
|
Доказать, что выражение не может являться кубом целого числа
в форуме Алгебра |
3 |
368 |
26 июл 2017, 14:52 |
|
|
Почему b делится на a?
в форуме Алгебра |
3 |
240 |
19 май 2021, 14:03 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |