Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать - деление и целые числа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25898
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 03 авг 2013, 11:29 ]
Заголовок сообщения:  Доказать - деление и целые числа

Добрый день!

Пожалуйста, подскажите алгоритм решения задания.
Докажите, что при любых целых a и b значение дроби [math]\frac{ ab(a^{2}-b^{2})}{6 }[/math]является целым числом.

Если я правильно понимаю, что получается, что [math]ab(a^{2}-b^{2}) = 6k[/math] , то есть делится на 6 без остатка. Но как действовать дальше?

Спасибо!

Автор:  vorvalm [ 03 авг 2013, 12:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

Примените метод мат. индукции.

При [math]b=1[/math] имеем [math]a(a+1)(a-1)[/math] и т.д.

Автор:  Hagrael [ 03 авг 2013, 12:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

Я применил здесь метод, о котором в этой теме рассказал Sonic. Метод заключается в том, что мы доказываем, что [math]ab(a^2-b^2)[/math] делится на [math]6[/math] при [math]b = 1, 2, 3, 4, 5, 6[/math], а из этого будет следовать, что это выражение будет делиться на [math]6[/math] при любом [math]b[/math].

Так вот, при [math]b=1[/math]:
[math]ab(a^2-b^2)=ab(a+b)(a-b)=(a-1)a(a+1)[/math]
Хотя бы одно из этих чисел четное и хотя бы одно делится на [math]3[/math], так что выражение делится на [math]6[/math].

При [math]b=2[/math]:
[math]ab(a+b)(a-b)=2a(a+2)(a-2)[/math]
Это выражение делится на [math]2[/math], и по крайней мере одно из чисел [math]a[math], [math]a-2[/math] и [math]a+2[/math] делится на [math]3[/math], так что это выражение опять-таки делится на [math]6[/math].

И так далее до [math]b=6[/math].

Автор:  Sonic [ 03 авг 2013, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

Можно добавит пару технических замечаний:
[math]f(a,b)[/math] делится на 6 [math]\Leftrightarrow \ f(a,b)[/math] делится на 2 и 3. Последние свойства проверяем независимо. В случае перебора всех остатков это упрощает дело: вместо [math]6^2=36[/math] значений нам достаточно проверить только [math]2^2+3^2=13[/math] значений, что меньше 36.
Кроме того, можно заметить, что многочлен [math]f(a,b)[/math] однородный, и тогда тождество [math]f(a,b)\equiv 0\pmod p[/math] равносильно тождествам [math]f(a,0)\equiv 0\pmod p[/math] и [math]f(t,1)=f(ab^{-1},1)\equiv p[/math]. В результате число проверок сокращается с [math]p^2[/math] до [math]p+p=2p[/math].

Автор:  Prokop [ 03 авг 2013, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

[math]ab\left({a^2 - b^2}\right) = ab\left({\left({a^2 - 1}\right) - \left({b^2 - 1}\right)}\right) = ab\left({a^2 - 1}\right) - ab\left({b^2 - 1}\right)[/math]

Автор:  afraumar [ 07 авг 2013, 19:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

Sonic писал(а):
Можно добавит пару технических замечаний:
[math]f(a,b)[/math] делится на 6 [math]\Leftrightarrow \ f(a,b)[/math] делится на 2 и 3. Последние свойства проверяем независимо. В случае перебора всех остатков это упрощает дело: вместо [math]6^2=36[/math] значений нам достаточно проверить только [math]2^2+3^2=13[/math] значений, что меньше 36.
Кроме того, можно заметить, что многочлен [math]f(a,b)[/math] однородный, и тогда тождество [math]f(a,b)\equiv 0\pmod p[/math] равносильно тождествам [math]f(a,0)\equiv 0\pmod p[/math] и [math]f(t,1)=f(ab^{-1},1)\equiv p[/math]. В результате число проверок сокращается с [math]p^2[/math] до [math]p+p=2p[/math].

Спасибо, но ничего не понятно )))

Автор:  afraumar [ 07 авг 2013, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

Hagrael писал(а):
Я применил здесь метод, о котором в этой теме рассказал Sonic. Метод заключается в том, что мы доказываем, что [math]ab(a^2-b^2)[/math] делится на [math]6[/math] при [math]b = 1, 2, 3, 4, 5, 6[/math], а из этого будет следовать, что это выражение будет делиться на [math]6[/math] при любом [math]b[/math].

Так вот, при [math]b=1[/math]:
[math]ab(a^2-b^2)=ab(a+b)(a-b)=(a-1)a(a+1)[/math]
Хотя бы одно из этих чисел четное и хотя бы одно делится на [math]3[/math], так что выражение делится на [math]6[/math].

При [math]b=2[/math]:
[math]ab(a+b)(a-b)=2a(a+2)(a-2)[/math]
Это выражение делится на [math]2[/math], и по крайней мере одно из чисел [math]a[math], [math]a-2[/math] и [math]a+2[/math] делится на [math]3[/math], так что это выражение опять-таки делится на [math]6[/math].

И так далее до [math]b=6[/math].


Спасибо. Все понятно, но я застряла на варианте, который написала в задании, потому что не понимаю ,почему мы именно b представляем в виде остатков? Правильно ли по сути то выражение, которое я написала изначально? Если у нас некое число А делится без остатка на 6, то оно равно 6 * k, где k некое число при умножении на которое 6 получится исходное число А, верно?

Автор:  i-sm [ 07 авг 2013, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать - деление и целые числа

В виде остатков можно представить любое из чисел a или b. (Пусть будет b) Тогда второе число может быть любым. Попробуйте для примера задумать любое число a. Какими будут числа a+1, a-1? Обратите внимание, что какое бы a Вы ни задумали, среди чисел a-1, a, a+1 обязательно будет четное (хотя бы одно) и обязательно будет кратное трем (нетрудно доказать). Значит, если их перемножить, то произведение обязательно будет делиться на 6.
Про 6k все правильно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/