Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача о вирусе
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25889
Страница 1 из 1

Автор:  Hagrael [ 31 июл 2013, 17:14 ]
Заголовок сообщения:  Задача о вирусе

Здравствуйте, математики! :) Я встретил в интернете задачу о вирусе:
Есть колония Бактерий. Очень большая — N штук... Или нет, N мало – целых M штук. В ней поселяется Вирус. Каждую секунду Вирус жрет одну бактерию, и, наевшись, тут же делится на два себе подобных. Бактерии питаются всем подряд (не бактериями и не вирусами, конечно) и тоже каждую секунду делятся пополам. Сожрет ли когда-нибудь Вирус все Бактерии?

Согласно моему исследованию, последнюю секунду существования бактерий можно найти из неравенства:
[math]M \leqslant 2^{k-1}[/math], при чем из этого неравенства следует взять именно наименьшее значение [math]k[/math].

Но попробовав найти эту секунду вручную для [math]M=13[/math] я понял, что она не соответствует той секунде, которая получается из того неравенства. Та секунда была не [math]5[/math]-ой (как следует из неравенства) и даже не [math]13[/math]-ой (многие на форуме говорили, что последняя секунда будет [math]M[/math]-ой), она будет (если будет) после [math]13[/math]-ой секунды. Но я перепроверил свое исследование и не нашел в нем ошибки. А само исследование передаю ниже:

Я создал последовательность из количеств бактерий [math]B_k[/math] в [math]k[/math]-ую секунду. Таким образом я получил последовательность [math]B_k=2B_{k-1}-2^{k-1}[/math], в которой [math]B_0=M[/math]. Так вот, получается, что для [math]k \geqslant 2[/math] можно записать [math]B_k=2B_{k-1}-2^{k-1}=2(B_{k-1}-2^{k-2})[/math]. А после этого можно показать, что [math]B_k=2^r(B_0-2^{k-2})[/math]. Так вот, получается, мы нашли обычную (не рекуррентную) запись для последовательности [math]B_k[/math]. И выходит, что она становится отрицательной при [math]2^{k-2} \geqslant B_0=M[/math]. В ту секунду, когда количество [math]B_k[/math] становится отрицательным, на самом деле просто исчезают все бактерии. А последняя секунда их жизни - это [math]k-1[/math]. Таким образом, неравенство [math]2^{k-2} \geqslant M[/math] превращается в неравенство [math]2^{k-1} \geqslant M[/math]. Вот как я нашел это неравенство, дающее нам последнюю секунду жизни бактерий до того, как их поразит вирус.

Но почему-то это неравенство дает не ту секунду, которая получается при ручном расчете. Я бы хотел в этом разобраться и прошу вашей помощи :)

Автор:  SzaryWilk [ 31 июл 2013, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о вирусе

Здравствуйте, пингвинчики-математики!
Hagrael писал(а):
[math]B_k=2B_{k-1}-2^{k-1}=2(B_{k-1}-2^{k-2})[/math]. А после этого можно показать, что [math]B_k=2^r(B_0-2^{k-2})[/math].

А я получила, что

[math]B_k=2^{k-1}(2M-k)[/math] :witch:

Автор:  Hagrael [ 01 авг 2013, 11:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача о вирусе

SzaryWilk, оказывается, действительно так получается. Выходит, что на [math]\frac{1}{2}M[/math]-ой секунде бактерий уже не будет? :cry:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/