Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение в натуральных числа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25875
Страница 1 из 1

Автор:  harr0u [ 28 июл 2013, 14:34 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение в натуральных числа

[math]x^3 - 4x = y^2[/math]
Пол дня решаю - без результатов.
Может так будет удобней : [math]x(x-2)(x+2)=y^2[/math]

Автор:  Avgust [ 28 июл 2013, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

[math]y=\pm \sqrt{x} \sqrt{x^2-4}[/math]

Отсюда три решения:

1) [math]x=-2\, ; \quad y=0[/math]

2) [math]x=2 \, ; \quad y=0[/math]

3) [math]x=0 \, ; \quad y=0[/math]

График подтверждает:

Изображение

Автор:  Hagrael [ 28 июл 2013, 19:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

Avgust, можно сделать небольшую поправку? У вас там [math]y= \pm \sqrt{x} \sqrt{x^2-4}[/math], но ведь по-моему он [math]y = \pm \sqrt{x(x^2-4)}[/math].
А можете объяснить, как вы нашли эти корни?

Автор:  Avgust [ 28 июл 2013, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

А что их находить? Видно же, что любую двойку во второй корень ставь, и будет ноль. В первый корень ноль ставь, и будет ноль. Других целых решений не получается. Ну а рисунок добавил уверенности в верности выбранной дороги.

Автор:  Hagrael [ 29 июл 2013, 07:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

Avgust, понятно. Но как убедиться, что это корни единственные?

Автор:  Avgust [ 29 июл 2013, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

Это вопрос теории чисел. Я же на всякий случай составил в Maple прогу

for x from -2 to 100 do print(x, sqrt(x^3-4*x)); end do

и нигде, кроме указанных трех случаев, не получил целого извлечения из корня. К сожалению, мои познания теории чисел недостаточны, чтобы доказать это для всех целых значений x

Автор:  Hagrael [ 29 июл 2013, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

Avgust, ясно, спасибо за объяснение.

Автор:  MathBos [ 29 июл 2013, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

Если уравнение необходимо решить в натуральных числах, то ни один из указанных выше корней не подходит.
Если же решить нужно в целых, то можно рассуждать следующим образом:
x^3-4x=y^2
x(x-2)(x+2)=y^2
Предположим, что x - четное, тогда x=2k :
2k(2k-2)(2k+2)=2^3(k-1)k(k+1). Мы получили выражение, содержащее три последовательных числа, и это выражение может являться квадратом только одного целого числа - нуля. То есть: k=1; k=0; k=-1 откуда'x=-2; x=0; x=2.

Автор:  Sviatoslav [ 30 июл 2013, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

MathBos, а если х - нечетное?

Автор:  Sonic [ 30 июл 2013, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в натуральных числа

harr0u писал(а):
[math]x^3 - 4x = y^2[/math]
Пол дня решаю - без результатов.
Может так будет удобней : [math]x(x-2)(x+2)=y^2[/math]
Ну еще бы.
Эта задача называется задача о конгруэнтных числах. Т.е. [math]n[/math] называется конгруэнтным iff [math]n[/math] - площадь прямоугольного треугольника с рациональными числами iff [math]n[/math] удовлетворяет уравнению [math]x(x^2-n^2)=y^2[/math].
Скачайте книжку Коблиц Введение в эллиптические кривые и модулярные формы и почитайте, узнаете, что это задача не очень легкая.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/