| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнение в натуральных числа http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25875 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | harr0u [ 28 июл 2013, 14:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Уравнение в натуральных числа |
[math]x^3 - 4x = y^2[/math] Пол дня решаю - без результатов. Может так будет удобней : [math]x(x-2)(x+2)=y^2[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 28 июл 2013, 15:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
[math]y=\pm \sqrt{x} \sqrt{x^2-4}[/math] Отсюда три решения: 1) [math]x=-2\, ; \quad y=0[/math] 2) [math]x=2 \, ; \quad y=0[/math] 3) [math]x=0 \, ; \quad y=0[/math] График подтверждает:
|
|
| Автор: | Hagrael [ 28 июл 2013, 19:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
Avgust, можно сделать небольшую поправку? У вас там [math]y= \pm \sqrt{x} \sqrt{x^2-4}[/math], но ведь по-моему он [math]y = \pm \sqrt{x(x^2-4)}[/math]. А можете объяснить, как вы нашли эти корни? |
|
| Автор: | Avgust [ 28 июл 2013, 19:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
А что их находить? Видно же, что любую двойку во второй корень ставь, и будет ноль. В первый корень ноль ставь, и будет ноль. Других целых решений не получается. Ну а рисунок добавил уверенности в верности выбранной дороги. |
|
| Автор: | Hagrael [ 29 июл 2013, 07:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
Avgust, понятно. Но как убедиться, что это корни единственные? |
|
| Автор: | Avgust [ 29 июл 2013, 12:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
Это вопрос теории чисел. Я же на всякий случай составил в Maple прогу for x from -2 to 100 do print(x, sqrt(x^3-4*x)); end do и нигде, кроме указанных трех случаев, не получил целого извлечения из корня. К сожалению, мои познания теории чисел недостаточны, чтобы доказать это для всех целых значений x |
|
| Автор: | Hagrael [ 29 июл 2013, 13:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
Avgust, ясно, спасибо за объяснение. |
|
| Автор: | MathBos [ 29 июл 2013, 22:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
Если уравнение необходимо решить в натуральных числах, то ни один из указанных выше корней не подходит. Если же решить нужно в целых, то можно рассуждать следующим образом: x^3-4x=y^2 x(x-2)(x+2)=y^2 Предположим, что x - четное, тогда x=2k : 2k(2k-2)(2k+2)=2^3(k-1)k(k+1). Мы получили выражение, содержащее три последовательных числа, и это выражение может являться квадратом только одного целого числа - нуля. То есть: k=1; k=0; k=-1 откуда'x=-2; x=0; x=2. |
|
| Автор: | Sviatoslav [ 30 июл 2013, 19:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
MathBos, а если х - нечетное? |
|
| Автор: | Sonic [ 30 июл 2013, 20:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение в натуральных числа |
harr0u писал(а): [math]x^3 - 4x = y^2[/math] Ну еще бы.Пол дня решаю - без результатов. Может так будет удобней : [math]x(x-2)(x+2)=y^2[/math] Эта задача называется задача о конгруэнтных числах. Т.е. [math]n[/math] называется конгруэнтным iff [math]n[/math] - площадь прямоугольного треугольника с рациональными числами iff [math]n[/math] удовлетворяет уравнению [math]x(x^2-n^2)=y^2[/math]. Скачайте книжку Коблиц Введение в эллиптические кривые и модулярные формы и почитайте, узнаете, что это задача не очень легкая. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|