Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 28 июл 2013, 14:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 июл 2013, 14:27
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x^3 - 4x = y^2[/math]
Пол дня решаю - без результатов.
Может так будет удобней : [math]x(x-2)(x+2)=y^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 28 июл 2013, 15:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y=\pm \sqrt{x} \sqrt{x^2-4}[/math]

Отсюда три решения:

1) [math]x=-2\, ; \quad y=0[/math]

2) [math]x=2 \, ; \quad y=0[/math]

3) [math]x=0 \, ; \quad y=0[/math]

График подтверждает:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 28 июл 2013, 19:18 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, можно сделать небольшую поправку? У вас там [math]y= \pm \sqrt{x} \sqrt{x^2-4}[/math], но ведь по-моему он [math]y = \pm \sqrt{x(x^2-4)}[/math].
А можете объяснить, как вы нашли эти корни?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 28 июл 2013, 19:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что их находить? Видно же, что любую двойку во второй корень ставь, и будет ноль. В первый корень ноль ставь, и будет ноль. Других целых решений не получается. Ну а рисунок добавил уверенности в верности выбранной дороги.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 29 июл 2013, 07:03 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, понятно. Но как убедиться, что это корни единственные?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 29 июл 2013, 12:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это вопрос теории чисел. Я же на всякий случай составил в Maple прогу

for x from -2 to 100 do print(x, sqrt(x^3-4*x)); end do

и нигде, кроме указанных трех случаев, не получил целого извлечения из корня. К сожалению, мои познания теории чисел недостаточны, чтобы доказать это для всех целых значений x

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 29 июл 2013, 13:13 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, ясно, спасибо за объяснение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 29 июл 2013, 22:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 июл 2013, 12:26
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если уравнение необходимо решить в натуральных числах, то ни один из указанных выше корней не подходит.
Если же решить нужно в целых, то можно рассуждать следующим образом:
x^3-4x=y^2
x(x-2)(x+2)=y^2
Предположим, что x - четное, тогда x=2k :
2k(2k-2)(2k+2)=2^3(k-1)k(k+1). Мы получили выражение, содержащее три последовательных числа, и это выражение может являться квадратом только одного целого числа - нуля. То есть: k=1; k=0; k=-1 откуда'x=-2; x=0; x=2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 30 июл 2013, 19:30 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 901
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 485
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MathBos, а если х - нечетное?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в натуральных числа
СообщениеДобавлено: 30 июл 2013, 20:03 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
harr0u писал(а):
[math]x^3 - 4x = y^2[/math]
Пол дня решаю - без результатов.
Может так будет удобней : [math]x(x-2)(x+2)=y^2[/math]
Ну еще бы.
Эта задача называется задача о конгруэнтных числах. Т.е. [math]n[/math] называется конгруэнтным iff [math]n[/math] - площадь прямоугольного треугольника с рациональными числами iff [math]n[/math] удовлетворяет уравнению [math]x(x^2-n^2)=y^2[/math].
Скачайте книжку Коблиц Введение в эллиптические кривые и модулярные формы и почитайте, узнаете, что это задача не очень легкая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Sviatoslav
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найдите 33 различных натуральных числа

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

6

209

26 июн 2024, 23:32

Сумма двух натуральных чисел равна 3597. Найдите эти числа

в форуме Алгебра

goldolov_na

1

889

24 дек 2019, 18:55

Уравнение в натуральных числах

в форуме Теория чисел

Andy

9

575

22 окт 2017, 10:52

Уравнение в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AGN

4

345

12 июн 2023, 01:35

Румяное уравнение в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

448

19 июл 2017, 00:19

Уравнение в натуральных числах (Вінниця, 1991)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

6

269

12 фев 2024, 10:48

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение?

в форуме Палата №6

ivashenko

4

330

15 сен 2021, 22:49

Числа Мерсенна и уравнение

в форуме Теория чисел

Diego_D

3

392

29 мар 2016, 20:06

Комплексные числа|Уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

RED-XY

17

469

26 апр 2020, 03:56

Решить уравнение, комплексные числа

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

angelia

2

315

25 апр 2023, 15:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved