Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать: a+b=a*b
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25833
Страница 1 из 2

Автор:  4obiya [ 17 июл 2013, 20:45 ]
Заголовок сообщения:  Доказать: a+b=a*b

Помогите, пожалуйста.
Есть задачка, пол дня ушло, но результатов никаких =(
Доказать что a+b=a*b только для 0 и 2.
Уже мозги плавятся...

Автор:  vorvalm [ 17 июл 2013, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

[math]a=\frac{b}{b-1}[/math]

Автор:  4obiya [ 17 июл 2013, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

спасибо большое)

Автор:  andrei [ 18 июл 2013, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

4obiya если ответ искать в целых числах,то я решал бы так:
[math]ab=a+b \Rightarrow (1-a)(1-b)=1[/math] для целых чисел разложение единицы на множители выглядит как [math]1=1 \cdot 1=(-1) \cdot (-1)[/math],откуда получим две системы:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 1-a=1 \\& 1-b=1 \end{aligned}\right.[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 1-a=-1 \\& 1-b=-1 \end{aligned}\right.[/math]
Решая,которые,мы найдем [math]a=b=0[/math] или [math]a=b=2[/math]

Автор:  Talanov [ 18 июл 2013, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

4obiya писал(а):
Доказать что a+b=a*b только для 0 и 2.

При [math]a=b; 2a=a^2; a^2-2a=0; a(a-2)=0; a_1=0; a_2=2.[/math]

Автор:  andrei [ 19 июл 2013, 12:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

Talanov,а с чего Вы взяли,что [math]a[/math] обязательно должно быть равно [math]b[/math]?
Тогда уж решать таким способом-пусть [math]a=kb[/math].Откуда [math]a^{2}k=a(1+k)[/math].
Особое решение получим [math]a=b=0[/math] остальные решения будут [math]a=1+ \frac{ 1 }{ k }[/math] и [math]b=1+k[/math].Из чего вытекает,что целые решения будут лишь при [math]k=1[/math] то есть [math]a=b=2[/math]

Автор:  Talanov [ 19 июл 2013, 12:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

Здесь сказано:
4obiya писал(а):
Доказать что a+b=a*b только для 0 и 2.

Автор:  i-sm [ 20 июл 2013, 02:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

Если искать решения на множестве действительных чисел, то решений много. Например, если
[math]a=3+\sqrt{3}; b=3-\sqrt{3}[/math]
Рассуждать можно так: обозначим a+b=n, тогда ab=n (так как по условию a+b=ab).
По теореме Виета числа a и b являются корнями квадратного уравнения
[math]x^{2}-nx+n=0[/math]
А корни это уравнение имеет при n<=0 и n>=4. Корни вида (значения для a и b):
[math]\frac{ n \pm \sqrt{n(n-4)} }{ 2 }[/math]
(Мой пример получен из n=6.)

Автор:  ALEXIN [ 20 июл 2013, 06:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

:oops: i-sm!
Спасибо! Вот уж кровушки напился от души… Почему Вы признаёте математическую логику? Что это такое? Это наука?

Автор:  andrei [ 20 июл 2013, 10:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать: a+b=a*b

i-sm
Есть решения попроще.Например,в самом общем виде [math]a= \frac{ m+n }{ m } \quad b= \frac{ m+n }{ n }[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/