Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Деление с остатком
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25832
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 17 июл 2013, 20:18 ]
Заголовок сообщения:  Деление с остатком

Добрый день!
Докажите, что при любом целом а а^7 – а делится на 42.

Я думала так, но дальше запуталась и наверняка есть более четкий подход к решению.

Преобразовала выражение и получилось a[math](a^{3}-1)(a^{3}+1)[/math] = a(a-1)(a+1)[math]a^{2}+a+1)(a^{2}-a+1)[/math]

Отсюда видим, что выражение точно делится на 6, поскольку среди трех последовательных чисел одно точно делится на 2 и одно делится на 3 (a(a-1)(a+1)).
Теперь с делением на 7: при делении на 7 получаются остатки 7k, 7k+1, 7k+2, 7k+3, 7k+4, 7k+5, 7k+6
Начала высчитывать первую часть выражения a(a-1)(a+1) с этими остатками и вторую часть - но не может же быть, что решение с такими большими вычислениями, тем более что не делится без остатка. Что я не так делаю?

Спасибо!

Автор:  vorvalm [ 17 июл 2013, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Деление с остатком

[math]a^7\equiv a(\mod 7)[/math]
[math]a^7\equiv a(\mod 6)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/