| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| В очередной раз решение логарифмичекого неравенства http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25632 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Sissynus [ 25 июн 2013, 18:21 ] |
| Заголовок сообщения: | В очередной раз решение логарифмичекого неравенства |
Привет, появляется такое неравенство как часть решения большей системы: [math]\log_{4x-6}(3x+1) < 0.[/math] Я рассуждаю так и довольно стандартно: есть два возможных вида логарифмической функции: с основанием в [math](0; 1)[/math] и больше единицы. Поэтому решение распадается на две части, которые мы объединяем и проверяем, чтобы результат лежал в ОДЗ: [math]4x-6>1\iff0<3x+1<1[/math], следовательно [math]-1|3<x<0[/math]; [math]0<4x-6<1\iff3x+1>1[/math] , следовательно [math]x>0[/math] . ОДЗ: [math]\left\{\begin{array}{ccc}3x+1 & > & 0\\ 4x-6 & > & 0\\ 4x-6 & \neq & 1 \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{ccc}x & > & -1|3\\ x & > & 6|4\\ x & \neq & 7|4 \end{array}\right.[/math] Объединяя все, получаем [math]x\in(6|4;7|4)\cup(7|4;\infty)[/math]. Однако данный ответ не подходит. Как следует решать? Спасибо. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 25 июн 2013, 19:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства |
Привет! Начнем с области определения: [math]4x-6>0, \quad 4x-6\neq 1, \quad 3x+1>0 \iff x>\frac{3}{2}, \quad x\neq \frac{7}{4}[/math] По формуле [math]\log_Sx=\frac{\log_Nx}{\log_NS}[/math] получаем [math]\frac{\ln(3x+1)}{\ln(4x-6)}<0[/math] Сразу видно, что [math]x< \frac{7}{4}[/math], но мы решим это неравенство: ([math]\ln(3x+1)<0[/math] и [math]\ln(4x-6)>0[/math]) или ([math]\ln(3x+1)>0[/math] и [math]\ln(4x-6)<0[/math]) ([math]3x+1<1[/math] и [math]4x-6>1[/math]) или ([math]3x+1>1[/math] и [math]4x-6<1[/math]) Ответ: [math](\frac{3}{2},\frac{7}{4})[/math] |
|
| Автор: | Sissynus [ 25 июн 2013, 20:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства |
Ага! Разобрался, спасибо! В моем решении не принимается во внимание условие [math]4x-6<1[/math], когда рассматривается случай [math]3x+1>1[/math] - в этом и ошибка. А случай [math]\left\{\begin{array}{ccc}\ln(3x+1) & < & 0\\ \ln(4x-6) & > & 0 \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{ccc}x & < & 0\\ x & > & \frac{7}{4}\end{array}\right.[/math] мы исключаем, потому что множество disjoint (и вообще не обращаем на него внимания в итоге)? |
|
| Автор: | Sissynus [ 25 июн 2013, 20:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства |
А, еще вопрос сразу - нет ли хорошего задачника на такого рода алгебраические precalculus фокусы? |
|
| Автор: | locked [ 25 июн 2013, 21:39 ] | |||
| Заголовок сообщения: | Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства | |||
Предлагаю вариант решения методом рацоинализации + вкладываю файл с полезными равносильными переходами для уравнений и (особенно) неравенств [метод рационализации там тоже есть], вдруг кому пригодится
|
||||
| Автор: | Sissynus [ 26 июн 2013, 12:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства |
locked, SzaryWilk спасибки. Нашел еще отличного качества методические материалы по математике: http://mathus.ru/math/index.php , например с разбором задач и C3 как раз: http://mathus.ru/math/egec3.pdf |
|
| Автор: | locked [ 26 июн 2013, 18:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства |
Sissynus писал(а): locked, SzaryWilk спасибки. Нашел еще отличного качества методические материалы по математике: http://mathus.ru/math/index.php , например с разбором задач и C3 как раз: http://mathus.ru/math/egec3.pdf хороший сайт, помог мне при подготовке к ЕГЭ |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|