Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 18:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 17:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет,

появляется такое неравенство как часть решения большей системы:

[math]\log_{4x-6}(3x+1) < 0.[/math]

Я рассуждаю так и довольно стандартно: есть два возможных вида логарифмической функции: с основанием в [math](0; 1)[/math] и больше единицы. Поэтому решение распадается на две части, которые мы объединяем и проверяем, чтобы результат лежал в ОДЗ:

[math]4x-6>1\iff0<3x+1<1[/math], следовательно [math]-1|3<x<0[/math];

[math]0<4x-6<1\iff3x+1>1[/math] , следовательно [math]x>0[/math] .

ОДЗ:

[math]\left\{\begin{array}{ccc}3x+1 & > & 0\\ 4x-6 & > & 0\\ 4x-6 & \neq & 1 \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{ccc}x & > & -1|3\\ x & > & 6|4\\ x & \neq & 7|4 \end{array}\right.[/math]

Объединяя все, получаем [math]x\in(6|4;7|4)\cup(7|4;\infty)[/math]. Однако данный ответ не подходит. Как следует решать? Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 19:08 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет!
Начнем с области определения:
[math]4x-6>0, \quad 4x-6\neq 1, \quad 3x+1>0 \iff x>\frac{3}{2}, \quad x\neq \frac{7}{4}[/math]

По формуле
[math]\log_Sx=\frac{\log_Nx}{\log_NS}[/math]


получаем

[math]\frac{\ln(3x+1)}{\ln(4x-6)}<0[/math]
Сразу видно, что [math]x< \frac{7}{4}[/math], но мы решим это неравенство:


([math]\ln(3x+1)<0[/math] и [math]\ln(4x-6)>0[/math]) или ([math]\ln(3x+1)>0[/math] и [math]\ln(4x-6)<0[/math])

([math]3x+1<1[/math] и [math]4x-6>1[/math]) или ([math]3x+1>1[/math] и [math]4x-6<1[/math])

Ответ: [math](\frac{3}{2},\frac{7}{4})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
Sissynus
 Заголовок сообщения: Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 20:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 17:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ага! Разобрался, спасибо! В моем решении не принимается во внимание условие [math]4x-6<1[/math], когда рассматривается случай [math]3x+1>1[/math] - в этом и ошибка.

А случай

[math]\left\{\begin{array}{ccc}\ln(3x+1) & < & 0\\ \ln(4x-6) & > & 0 \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{ccc}x & < & 0\\ x & > & \frac{7}{4}\end{array}\right.[/math]

мы исключаем, потому что множество disjoint (и вообще не обращаем на него внимания в итоге)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 20:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 17:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А, еще вопрос сразу - нет ли хорошего задачника на такого рода алгебраические precalculus фокусы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 25 июн 2013, 21:39 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 фев 2013, 20:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагаю вариант решения методом рацоинализации + вкладываю файл с полезными равносильными переходами для уравнений и (особенно) неравенств [метод рационализации там тоже есть], вдруг кому пригодится :)

Вложения:
Комментарий к файлу: равносильные переходы
(мал).docx [55.78 Кб]
Скачиваний: 48
Комментарий к файлу: решение
.docx [22.05 Кб]
Скачиваний: 42
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю locked "Спасибо" сказали:
SzaryWilk
 Заголовок сообщения: Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 26 июн 2013, 12:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2013, 17:58
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
locked, SzaryWilk спасибки.

Нашел еще отличного качества методические материалы по математике: http://mathus.ru/math/index.php , например с разбором задач и C3 как раз: http://mathus.ru/math/egec3.pdf

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sissynus "Спасибо" сказали:
SzaryWilk
 Заголовок сообщения: Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
СообщениеДобавлено: 26 июн 2013, 18:53 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 фев 2013, 20:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sissynus писал(а):
locked, SzaryWilk спасибки.

Нашел еще отличного качества методические материалы по математике: http://mathus.ru/math/index.php , например с разбором задач и C3 как раз: http://mathus.ru/math/egec3.pdf

хороший сайт, помог мне при подготовке к ЕГЭ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Очередной прикол Борис Палыча? (или найти экстремум)

в форуме Дифференциальное исчисление

brom

5

385

21 апр 2017, 23:32

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Lovemath

8

507

08 мар 2015, 19:10

Решение неравенства

в форуме Алгебра

photographer

1

244

20 июн 2016, 10:41

Решение неравенства

в форуме Алгебра

photographer

1

282

25 июл 2016, 15:20

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Cushat

1

272

07 авг 2018, 00:10

Решение неравенства

в форуме Алгебра

Lapsum

7

298

08 авг 2020, 10:34

Решение неравенства

в форуме Тригонометрия

pro100david0911

9

392

19 авг 2019, 19:52

Решение неравенства

в форуме Алгебра

VladGreen

7

381

25 авг 2018, 18:38

Решение неравенства

в форуме Алгебра

GeorgeB

0

288

20 мар 2017, 20:59

Решение элементарного неравенства

в форуме Алгебра

Tantan

3

317

20 фев 2018, 16:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved