Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать тождество, неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25397
Страница 1 из 1

Автор:  spirt1g [ 12 июн 2013, 14:10 ]
Заголовок сообщения:  Доказать тождество, неравенство

1. Докажите тождество: [math]{x^3}+{y^3}+{z^3}= 3xyz[/math] , если x+y+z=0
я знаю, что существует равенство [math]{x^3}+{y^3}+{z^3}- 3xyz = (x + y + z)({x^2}+{y^2}+{z^2}- xy - xz - yz)[/math], но как его получить?
2. Докажите неравенство: [math]{(a + b + c + d)^2}\leqslant 4({a^2}+{b^2}+{c^2}+{d^2})[/math]
3. Сравните числа: [math]{({\log _2}5)^2}[/math] и [math]({\log _2}20)[/math]

Автор:  neurocore [ 12 июн 2013, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать тождество, неравенство

1) Если не знать про это разложение, то можно просто попытаться в столбик поделить x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz на x + y + z.

Автор:  Misha1 [ 12 июн 2013, 17:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать тождество, неравенство

Составим разность:
[math]4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-(a+b+c+d)^{2}[/math]
[math]3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/math]
[math](a-b+c-d)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2(ab+bc+cd)+2(bd+ac+ad)[/math]
[math]2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+(a-b+c-d)^{2}+2bd+2ac[/math]
Отсюда получаем:
[math](a+d)^{2}+(a+c)^{2}+(b+d)^{2}+c^{2}+b^{2}+(a-b+c-d)^{2}[/math]
Очевидно это выражение больше или равно нулю.Значит имеет место равенство:
[math]4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) \geqslant (a+b+c+d)^{2}[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 12 июн 2013, 17:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать тождество, неравенство

Задача № 1.

Вложения:
Zadacha o simmetricheskom mnogochlene trokh peremennykh(1).png
Zadacha o simmetricheskom mnogochlene trokh peremennykh(1).png [ 41.25 Кб | Просмотров: 55 ]
Zadacha o simmetricheskom mnogochlene trokh peremennykh(2).png
Zadacha o simmetricheskom mnogochlene trokh peremennykh(2).png [ 24.16 Кб | Просмотров: 41 ]
Zadacha o simmetricheskom mnogochlene trokh peremennykh(3).png
Zadacha o simmetricheskom mnogochlene trokh peremennykh(3).png [ 40.31 Кб | Просмотров: 40 ]

Автор:  andrei [ 12 июн 2013, 17:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать тождество, неравенство

[math]a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab[/math]
[math]a^{2}+c^{2} \geqslant 2ac[/math]
[math]a^{2}+d^{2} \geqslant 2ad[/math]
[math]b^{2}+c^{2} \geqslant 2bc[/math]
[math]b^{2}+d_{2} \geqslant 2bd[/math]
[math]c^{2}+d^{2} \geqslant 2cd[/math]
Складывая,получим
[math]3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) \geqslant 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/math]
Откуда получаем
[math]4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) \geqslant (a+b+c+d)^{2}[/math]
Конечно,если числа [math]a,b,c,d[/math] не меньше нуля

Автор:  andrei [ 12 июн 2013, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать тождество, неравенство

[math]\log^{2}_{2}{5} \land \log_{2}{20}[/math]
[math]\log^{2}_{2}{5} \land 2+\log_{2}{5}[/math]
[math]\log_{2}{5}(\log_{2}{5}-1) > 2 \cdot 1[/math]

Автор:  spirt1g [ 12 июн 2013, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать тождество, неравенство

[math](a-b+c-d)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2(ab+bc+cd)+2(bd+ac+ad)[/math]
[math]2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+(a-b+c-d)^{2}+2bd+2ac[/math]
Откуда вот это взялось?)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/