| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать тождество, неравенство http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25397 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | spirt1g [ 12 июн 2013, 14:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать тождество, неравенство |
1. Докажите тождество: [math]{x^3}+{y^3}+{z^3}= 3xyz[/math] , если x+y+z=0 я знаю, что существует равенство [math]{x^3}+{y^3}+{z^3}- 3xyz = (x + y + z)({x^2}+{y^2}+{z^2}- xy - xz - yz)[/math], но как его получить? 2. Докажите неравенство: [math]{(a + b + c + d)^2}\leqslant 4({a^2}+{b^2}+{c^2}+{d^2})[/math] 3. Сравните числа: [math]{({\log _2}5)^2}[/math] и [math]({\log _2}20)[/math] |
|
| Автор: | neurocore [ 12 июн 2013, 15:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать тождество, неравенство |
1) Если не знать про это разложение, то можно просто попытаться в столбик поделить x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz на x + y + z. |
|
| Автор: | Misha1 [ 12 июн 2013, 17:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать тождество, неравенство |
Составим разность: [math]4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-(a+b+c+d)^{2}[/math] [math]3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/math] [math](a-b+c-d)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2(ab+bc+cd)+2(bd+ac+ad)[/math] [math]2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+(a-b+c-d)^{2}+2bd+2ac[/math] Отсюда получаем: [math](a+d)^{2}+(a+c)^{2}+(b+d)^{2}+c^{2}+b^{2}+(a-b+c-d)^{2}[/math] Очевидно это выражение больше или равно нулю.Значит имеет место равенство: [math]4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) \geqslant (a+b+c+d)^{2}[/math] |
|
| Автор: | andrei [ 12 июн 2013, 17:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать тождество, неравенство |
[math]a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab[/math] [math]a^{2}+c^{2} \geqslant 2ac[/math] [math]a^{2}+d^{2} \geqslant 2ad[/math] [math]b^{2}+c^{2} \geqslant 2bc[/math] [math]b^{2}+d_{2} \geqslant 2bd[/math] [math]c^{2}+d^{2} \geqslant 2cd[/math] Складывая,получим [math]3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) \geqslant 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/math] Откуда получаем [math]4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) \geqslant (a+b+c+d)^{2}[/math] Конечно,если числа [math]a,b,c,d[/math] не меньше нуля |
|
| Автор: | andrei [ 12 июн 2013, 17:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать тождество, неравенство |
[math]\log^{2}_{2}{5} \land \log_{2}{20}[/math] [math]\log^{2}_{2}{5} \land 2+\log_{2}{5}[/math] [math]\log_{2}{5}(\log_{2}{5}-1) > 2 \cdot 1[/math] |
|
| Автор: | spirt1g [ 12 июн 2013, 19:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать тождество, неравенство |
[math](a-b+c-d)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2(ab+bc+cd)+2(bd+ac+ad)[/math] [math]2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+(a-b+c-d)^{2}+2bd+2ac[/math] Откуда вот это взялось?) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|