Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача, решение уравнений в целых числах
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25355
Страница 1 из 2

Автор:  Toshikarik [ 10 июн 2013, 15:04 ]
Заголовок сообщения:  Задача, решение уравнений в целых числах

Здравствуйте. Есть вот такая задачка:
Цитата:
Спортсмен получил на некоторую сумму денег талоны достоинством в 15 р. и в 20 р., причем двадцатирублевых было больше, чем пятнадцатирублевых. Пятую часть всех денег он истратил, отдав 2 талона за билет в кино. Половину оставшихся денег отдал за ужин, оплатив ero тремя талонами. Сколько талонов каждого достоинства было вначале у спортсмена?

Решил ее так: в общем было потрачено 5 талонов, на сумму [math]\frac{ 3 }{ 5 }[/math] от общей. Получается 6 вариантов:
[math]5 \cdot 20 + 0 \cdot 15 = 100[/math]
[math]4 \cdot 20 + 1 \cdot 15 = 95[/math]
[math]3 \cdot 20 + 2 \cdot 15 = 90[/math]
[math]2 \cdot 20 + 3 \cdot 15 = 85[/math]
[math]1 \cdot 20 + 4 \cdot 15 = 80[/math]
[math]0 \cdot 20 + 5 \cdot 15 = 75[/math]
Под условие подходят 2 суммы, это - 75 и 90, так как сумма должна без остатка делится на 3. Осталось только решить два уравнения в целых числах, это уже писать не буду, не так сложно. Собственно суть: правильно ли я подошел к решение задачи, или все же есть способ решения оптимальней, например, без перебора 6 случаев?

Автор:  Andy [ 11 июн 2013, 09:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Toshikarik
У меня получилось, что задача решается при одном талоне достоинством в 20 р. и семи талонах достоинством в 15 р. :oops: Если это действительно так, то нужно ли искать какой-то другой способ решения задачи? Ведь найденное решение не соответствует указанному в условии отношению между количествами талонов. Тем более, что задача предложена в школьном курсе алгебры.

Задачу, правда, я решал немного иначе. Но диофантовых уравнений решать не пришлось. А что получается при Вашем способе решения?

Автор:  andrei [ 11 июн 2013, 10:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Ответ два талона по пятнадцать рублей и шесть талонов по двадцать.

Автор:  Avgust [ 11 июн 2013, 10:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

andrei более прав, ибо талонов по 20 рублей должно быть по условию больше.

Автор:  andrei [ 11 июн 2013, 11:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Avgust Ваше выражение напомнило мне одну фразу:"Все животные равны,но некоторые животные более равны,чем другие".

Автор:  Andy [ 11 июн 2013, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Toshikarik
Судя по сообщениям в форуме, я где-то ошибся в своём решении. Прошу извинить!

Автор:  Avgust [ 11 июн 2013, 11:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Andy! Срочно на аватаре добавьте между словами частицу "не" :D1

Автор:  Toshikarik [ 11 июн 2013, 11:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Ну у меня получилось 2 варианта. Сумма 150 рублей ( там вышло 2 варианта: 6x20+2x15 или 3x20+6x15, соответственно подходит только первый ) и 125 рублей ( тоже 2 варианта: 4x20+3x15 и 1x20+7x15, тоже подходит только первый ). Если кому интересно, могу выложить решение как доберусь до компьютера.

И суть то не в решении а в егт способе. Я ее решил до создания темы. В принципе, это и сподвигло меня создать тему.

Автор:  andrei [ 11 июн 2013, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Toshikarik писал(а):
125 рублей ( тоже 2 варианта: 4x20+3x15 и 1x20+7x15, тоже подходит только первый ).

[math]\frac{ 125 }{ 5 }=25[/math] число [math]25[/math] нельзя представить в виде суммы двух чисел - [math]a[/math] и [math]b[/math],где эти числа равны либо [math]15[/math] либо [math]20[/math].

Автор:  Toshikarik [ 11 июн 2013, 11:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача, решение уравнений в целых числах

Да, Вы правы, неусмотрел.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/